Чи має P / poly NP / poly якісь цікаві наслідки?

$P/poly = NP/poly$ означає , що, в свою чергу, має такі цікаві наслідки, як крах ієрархії поліномів. $NP \subseteq P/poly$

Чи є цікаві наслідки для ? $P/poly \neq NP/poly$

cc.complexity-theory conditional-results advice-and-nonuniformity

— Томас Клімпель
джерело

P / p o l y = N P / p o l y

$\mathrm{P}/\mathrm{poly}=\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$ є еквівалентом до .

N P \subseteq P / p o l y

$\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{P}/\mathrm{poly}$

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek Отже, ви кажете, що P / poly NP / poly означає NP P / poly. Чи є у вас якісь посилання на це чи ви можете мені пояснити, як це бачити? Якщо так, то це остаточно кваліфікується як відповідь.

\neq

$\neq$

⊈

$\not\subseteq$

— Томас Клімпель,

@Kaveh: чи справді зняти мотивацію таку річ, яку ми повинні робити? Це познайомило мене з речами, з якими я не зустрічався раніше, і це не так, як його не розрізали. Це не Twitter.

— Андраш Саламон

@ EmilJeřábek Я думаю, я це зараз отримав. NP

\subseteq

$\subseteq$ P / poly має на увазі P / poly = NP / poly, тому що детермінований алгоритм може отримати як свою власну рядок поради для того, щоб стати настільки ж потужним, як NP, разом із рядком поради для мови від NP / poly, і це достатньо для вирішення цієї мови.

— Томас Клімпель,

@ThomasKlimpel: Так, саме так.

— Еміль Єржабек

Коментар Emil Jeřábek відповідає на питання:

P / poly NP / poly еквівалентний NP P / poly $=$ $\subseteq$

Зверніть увагу на наслідки

P / poly NP / poly означає P NP. $\neq$ $\neq$

Доказ наслідків:

P / poly NP / poly еквівалентний NP P / poly (коментар Еміля) $=$ $\subseteq$ $\$
NP P / poly означає P / poly NP / poly (мається на увазі через 1.) $\subseteq$ $=$ $\$
P / poly NP / poly означає NP P / poly (еквівалентно 2.) $\neq$ $\not\subseteq$ $\$
NP P / poly означає P NP (P P / poly) $\not\subseteq$ $\neq$ $\$ $\subseteq$
P / poly NP / poly означає P NP (мається на увазі через 3. та 4.) $\neq$ $\neq$ $\$

Доказ коментаря Еміля: Досить показати, що NP P / poly означає P / poly NP / poly. $\subseteq$ $=$

Тож припустимо NP P / poly. $\subseteq$
Оскільки SAT NP існує і послідовність рядків з , детермінований алгоритм, який може визначити випадки SAT розміру в часі , якщо він має доступ до . WLOG, цей алгоритм також може визначати екземпляри SAT розміру , тому що ми можемо визначити модифіковану послідовність з , де всі попередні рядки порад включені до . $\in$ $p_{SAT}\geq k_{SAT}>0$ $s_n$ $\left|s_n\right|\leq n^{k_{SAT}}$ $n$ $\leq n^{p_{SAT}}$ $s_n$ $\leq n$ $s'_n=s'_{n-1}s_n$ $\left|s'_n\right|\leq n^{k_{SAT}+1}$ $s'_n$
Тепер нехай NP / poly є довільною мовою, для якої нам потрібно показати P / poly. Існує і послідовність рядків рад з і недетермінованим алгоритмом, який може визначати випадків розміру за часом , якщо він має доступ до . $L\in$ $L\in$ $p_L\geq k_L>0$ $l_n$ $\left|l_n\right|\leq n^{k_L}$ $L$ $n$ $\leq n^{p_L}$ $l_n$
Для кожного з , екземпляр СБ розміру може бути обчислений (під час ) , що реально точно , якщо . $w$ $|w|=n$ $\leq c\cdot n^{p_L}$ $O(n^{p_L})$ $w\in L$
Отже, для послідовності рядків з , комбінація детермінованих алгоритмів від 2. і 4. дає детермінований алгоритм, який може вирішувати екземплярів розміру у часі , якщо він має доступ до . $t_n=l_ns_{c\cdot n^{p_L}}$ $|t_n|\leq n^{k_L}+(c\cdot n^{p_L})^{k_{SAT}}$ $L$ $n$ $O((c\cdot n^{p_L})^{p_{SAT}})$ $t_n$
Оскільки NP / poly була довільною мовою, це показує NP / poly P / poly, при припущенні, що NP P / poly. $L\in$ $\subseteq$ $\subseteq$

Усі вищезазначені докази релятивізують, тому що існування проблем, повних NP, також вірно в релятивізованих світах. Це говорить про те, що безрезультатно шукати доказ того, що P / poly NP / poly. Однак підведемо підсумок видаленого розділу мотивації $\neq$ з питання, як "Рядок із порадами може бути формальною аксіоматичною системою (автоматично гарантовано послідовною, злісною усмішкою), сила якої швидко зростає з введенням довжини, і NP надзвичайно добре використовує цю пораду". Якщо не дуже обережно, що "існування послідовних порад поради" має лише "формальне" значення щодо фіксованої формальної системи, це налаштування, ймовірно, дозволить побудувати очевидні парадокси. Але побудова таких парадоксів все ж може бути цікавою, і, можливо, вони навіть можуть запропонувати способи побудови доказів незалежності (для досить слабких формальних систем).

— Томаса Клімпеля
джерело