Складність вирішення питання про те, чи є сім'я сім'ї Спернера

Нам дається сімейство $\mathcal{F}$ з $m$ підмножин {1, ..., n}. Чи можна знайти нетривіальну нижню межу складності вирішення питання про те, чи $\mathcal{F}$ - сім'я Спернера? Тривіальна нижня межа - $O(n m)$ і я сильно підозрюю, що вона не є тісною.

$\mathcal{S}$ $X$ $Y$ $\mathcal{S}$ $X \ne Y$ $X \nsubseteq Y$ $Y \nsubseteq X$

ds.algorithms co.combinatorics

— Ентоні Левер'є
джерело

Отже, ви запитуєте, чи є верхня межа нм?

— Суреш Венкат

В основному так. Власне, я хотів би довести, що не існує жодного алгоритму, який міг би досягти успіху (в гіршому випадку) зі складністю O (mn).

— Ентоні Левер'є

Як даються підмножини? "Матриця суміжності" чи "список ребер"?

— Yuval Filmus

Вхід є матрицею суміжності.

— Ентоні Левер'є

+1 за спробу змусити нас вирішити задачу множення матриці, не усвідомлюючи цього. :-)

— Пітер Шор

Ви не можете вирішити це шляхом множення матриць? Нехай множини будуть , , , . Візьмемо матрицю , щоб бути в матриця , де , якщо і 0 в іншому випадку, і , щоб бути в матрицю , де , якщо і 0 в іншому випадку. Тепер, $S_1$ $S_2$ $\ldots$ $S_m$ $A$ $m \times n$ $A_{ij}=1$ $j \in S_i$ $B$ $m \times n$ $B_{ij}=1$ $j \notin S_i$ $AB^T$ має запис якщо і тільки якщо є один набір міститься в іншому. $0$ $\mathcal{F}$

Так що, якщо ви доведете , нижньою межею для випадку , коли , ви довели той же нижню межу для множення матриць. Це відома відкрита проблема. $\Omega(n^{2+\epsilon})$ $m = \theta(n)$

Я не багато про це думав, але не бачу жодного способу, щоб ви могли довести, що цей конкретний випадок множення матриць по суті такий же важкий, як загальний випадок; якщо вам дійсно потрібна нижня межа, це, мабуть, є єдиною надією на доведення, не вирішуючи задачу множення матриці.

З іншого боку, це дає алгоритми для цієї проблеми, які кращі, ніж наївний алгоритм, який займає . $\theta(m^2n)$

— Петро Шор
джерело