Складність локалізації в бездротових мережах

Нехай окремі точки сидять у . Ми говоримо, що точки і є сусідами, якщо | ij | <3 \ pmod {n-2} , що означає, що кожна точка є сусідами з точками з індексами в межах 2 , обертаючись навколо.R 2 i j | i - j | < $1 ... n$$\mathbb{R}^2$$i$$j$$|i-j| < 3 \pmod{n-2}$$2$

Проблема полягає в наступному:

Для кожної пари сусідів нам даються їх парні відстані (і ми знаємо, яка відстань відповідає яким точкам), і ми хочемо реконструювати попарні відстані всіх точок. Мої запитання полягають у тому, яка складність цієї проблеми локалізації?

Я не знаю поліноміального алгоритму часу.

Це мотивовано проблемами локалізації в сенсорних мережах , де агенти, розміщені спеціально, можуть бездротово спілкуватися зі своїми лексикографічними сусідами, і ми хочемо реконструювати їхні позиції.

Я мало знаю про проблеми геометрії / локалізації, тому це може бути простим чи відомим. Найближча проблема, про яку я знаю, - це проблема Turnpike , яку нещодавно вказав на цьому форумі @Suresh Venkat.

(У мене немає реальної відповіді, але це було занадто довго для коментарів, тому розміщуйте його тут все одно ...)

Я підозрюю, що проблема є NP-жорсткою, зменшуючи від заданої суми підмножини. Доказна ідея:

Зменшення: якщо й елемент в екземплярі суми підмножини дорівнює , то відстань між вузлами і дорівнює , відстань між і - , відстань між - також , а відстань між та дорівнює .x i 2 i - 1 2 i s 2 i - 1 2 i + 1 x i 2 i 2 i + 2 x i 2 i 2 i + 1 $i$$x_i$$2i-1$$2i$$s$$2i-1$$2i+1$$x_i$$2i$$2i+2$$x_i$$2i$$2i+1$$\sqrt{s^2 + x_i^2}$

Припустимо, що краї між та для всіх є вертикальними. Тоді весь графік складається з ланцюжка прямокутників з діагоналями. Однак ви можете «перевернути» кожен прямокутник так, щоб або з лівого боку або з правого боку . І вам потрібно знайти правильну підмножину фліпсів, щоб відстань між останнім вузлом і вузлом було "правильним" (а відстань між і є правильною і відстань між і правильно).2 i i 2 i + 2 2 i 2 i n = 2 k 2 2 k - 1 1 2 k - 1 $2i-1$$2i$$i$$2i+2$$2i$$2i$$n = 2k$$2$$2k-1$$1$$2k-1$$2$

Поки що добре, але наші прямокутники насправді не жорсткі; ми також могли прогорнутись по діагоналі. Однак я думаю, що якщо ми виберемо неприємне значення , то, можливо, ми могли б показати, що все страшенно неправильно, якщо ми колись перекинемось по діагоналі (наприклад, координати не будуть раціональними)? Однак це може зажадати певних змін у значеннях .2 k x $s$$2k$$x_i$

Це насправді NP-важко. Довідкові матеріали див. У наступному документі.

Sriram V. Pemmaraju, Imran A. Pirwani: Віртуальна реалізація хорошої якості одиничних кульових графіків. ESA 2007: 311-322

Drineas та ін. написав статтю Відновлення матриці відстані від неповної інформації про відстань для локалізації сенсорної мережі . Але те, чого вони досягають, мабуть, не зовсім те, про що ви просите: вони обчислюють всю карту відстані від неповної, навіть за наявності шуму та несправностей вузлів.