Яка державна складність мови копіювання?

Нехай дається число . Розглянемо наступну мову $n$ . $L_n = \{ \; ww \; \vert \; w \in \{0,1\}^{n} \; \}$

Словом, - це набір копіювальних рядків довжиною . $L_n$ $2n$

Розглянемо наступну функцію складності стану таку, що - кількість станів у найменших автоматах Pushdown, що розпізнає . $s$ $s(n)$ $L_n$

Питання: Чи можете ви формально довести будь-яку змістовну нижню межу для ? $s(n)$

Моя концепція: . $s(n) = 2^{\Theta(n)}$

Відомі верхня частина: . $s(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot 2^{\frac{n}{2}}$

Правила:

(1) Алфавіт стека повинен бути двійковим.

(2) Вхідна стрічка є односторонньою і не може зупинитися на жодному вхідному символі.

— Майкл Вехар
джерело

На даний момент у мене немає жодної змістовної нижньої межі. Мені здається, ви могли б довести нижню межу кількості потрібних змінних для CFG, які розпізнають мову. Хоча я навіть у цьому зовсім не впевнений.

— Майкл Вегар

Моя інтуїція полягає в тому, що пересуваючи символи з вхідної стрічки до стеку, ви стикаєтеся з проблемою. Якщо ви хочете пізніше отримати ці біти, вам доведеться викинути всі біти, які ви натиснули над ним. Іншими словами, схоже, що стек вам не допомагає, оскільки чим більше ви натискаєте на нього, тим більше ви змушені пізніше забути.

— Майкл Вехар

Зауваження. Для DFA (автомати без стека) ви можете довести нижню межу складності експоненціального стану.

— Майкл Вехар

Чи можете ви показати розумну нижню межу для більш простої задачі

{0^{k} 1^{l} 0^{k} 1^{l}}

$\{0^k1^l0^k1^l\}$

— Андрас Саламон

Більш точною верхньою межею здається

стани.

(n + 3) 2^{n / 2}

$(n+3)2^{n/2}$

— Андрас Саламон

Техніка, описана Ювалем:

Чи існує CFG полінома розміру, який описує цю кінцеву мову?

(Ви також можете прочитати: нижчі межі щодо розміру CFG для конкретних кінцевих мов )

$G$ $L_n$ $w\in \{0,1\}^n$ $A(w)$ $s(w)$ $ww$ $n/2$ $n$ $p(w)$ $ww$ $n/2$ $w,w'$ $A(w)=A(w')$ $p(w)=p(w')$ $2^{n/2}$ $A(w)$ $p(w)$ $2^{\Theta(n)}$

$2^{\Theta(n)}$ $L_n$

— Джозеф Стек
джерело

Дивовижний, ще раз дякую! Я бачу зараз і подумаю про це для підтвердження. :)

— Michael Wehar

[n, 2 n]

$[n,2n]$

[n / 2, n]

$[n/2,n]$

(A (w), p (w))

$(A(w),p(w))$

A (w)

$A(w)$

w w

$ww$

p (w)

$p(w)$

Дивіться також теорему 7 у моїй роботі: cs.toronto.edu/~yuvalf/CFG-LB.pdf .

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Варто також відзначити, що Андрас витратив трохи часу, намагаючись зрівняти верхню і нижню межі. Ми з моїм другом Пепе визначили загальний клас кінцевих мов і застосували до них техніку. Ми ніколи нічого не писали, хоча. Якщо у вас виникнуть будь-які пов'язані з цим проблеми, ми будемо готові співпрацювати. Знову дякую.

— Michael Wehar