Обмежена кількість змінних випадків у 1-у-3 SAT

Чи відомий результат класу складності 1-в-3-SAT з обмеженою кількістю змінних випадків?

Я придумав наступне скоромовне скорочення з Пітером Найтінгейлом, але я хочу навести щось, якщо це буде відомо.

Ось хитрість, яку ми придумали. Це показує, що 1-в-3-SAT обмежено 3 входами на змінну - NP повний і #P повний (оскільки 1-в-3-SAT є) , тоді як 3-SAT, обмежений 3- ма входженнями, знаходиться в P

Скажімо, у нас більше трьох випадків x. Скажіть, що нам потрібно 6. Тоді ми введемо 5 нових змінних від x2 до x6, що еквівалентно x, і дві нові змінні d1 і d2, гарантовано помилкові, з наступними 6 новими пропозиціями:

x  -x2 d1
x2 -x3 d1
x3 -x4 d1
x4 -x5 d2
x5 -x6 d2
x6 -x  d2

Очевидно, що ми замінюємо кожне виникнення x після першого на xi для деяких i. Це дає три випадки кожного xi та d.

Вищезазначене встановлює кожне ді-значення на хибне, а всі xi - на одне значення. Щоб побачити це, x має бути істинним або хибним. Якщо це правда, тоді перший пункт встановлює x2 true і d1 false, а потім це розповсюджує вниз клюкоти. Якщо x false, то останній пункт встановлює x6 false та d2 false, і він поширює пропозиції. Це, очевидно, сильно парсимонічно, тому зберігає підрахунок.

Наскільки мені відомо, поточні "межі" були врегульовані в:

Штефан Поршен, Татьяна Шмідт, Евальд Шпкенмейер, Андреас Воцлав: XSAT та NAE-SAT лінійних класів CNF. Дискретна прикладна математика 167: 1-14 (2014)

Дивіться також дисертацію Шмідта: Обчислювальна складність SAT, XSAT та NAE-SAT для лінійних та змішаних формул CNF з Хорн

Теорема 29 . XSAT залишається NP-повним для - і - , .$k$$CNF^l_+$$k$$CNF^l$$k, l \geq 3$

(XSAT для - - це рівно 1-в-3-SAT, де кожна змінна з'являється рівно рази)$3$$CNF^3$$l=3$

Зауважимо, що теорема також доводить NP-повноту більш сильного монотонного випадку ( )$CNF_+$

(Я розумію, що це повинна бути пізня відповідь; я пишу для майбутніх читачів)

У літературі є значніший результат.

Позитивна кубічна позитивна 1-в-3 задоволеність доведена NP-повною у Мура та Робсона, важких проблем з плиткою з простими плитками . (Вони кажуть "монотонний", а не "позитивний". Див. Примітку, додану нарешті)

Згаданий результат є сильнішим за результат у тезі Шмідта, оскільки тут графік формули обмежений площиною. (У насправді умова сильніша: вони надають певний вид вбудовування, який називається прямолінійним вбудовуванням)

Графік булевої формули визначається як граф з безліччю вершин і безліччю ребер змінна відбувається в пункті (unnegated або зведені на немає) (де - сукупність змінних, а - множина пропозицій).$G_B$$B=(X,C)$$X\cup C$$E:= \{ x_iC_j\ :\ $$x_i$$C_j$$\}$$X$$C$

Кубічний планарниє Позитивний 1-ін-3 здійсненне
Instance: Булева формула , де являє собою набір змінних, собою набір з 3-елементних підмножин над (п.п.), і графік з є кубічний плоский графік. Питання: Чи існує присвоєння істини для таке, що кожне застереження " має точно одну справжню змінну?$B=(X,C)$$X$$C$$X$$G_B$$B$X C
$X$$C$

Зауважте, що кожне застереження містить рівно 3 чіткі змінні, і кожна змінна відображається у рівно 3 пропозиціях.

Див. Дисертацію Тіппенгауера щодо Planar 3-SAT та його варіантів (2016) щодо варіантів sat, які обмежують кількість змінних випадків.
Примітка. Є кілька варіантів, виявлених після публікації цієї тези.

Примітка Додано: Результати Мура та Робсона довели, що позитивна задоволеність кубічної площини 1 в 3 не відповідає NP. (Тобто булева формула не просто монотонна, вона позитивна (тобто взагалі немає заперечених літералів)). На жаль, у багатьох ранніх працях термін «монотонна» вживався як «позитивний». Скорочення Мура та Робсона не вводить заперечених літералів. Їх скорочення відбувається від планарної «Монотонної» 1-в-3 Задовільність у папері Laroche. Задоволеність рівнем 1-в-3 не є повною . Я не міг отримати цей документ, але, швидше за все, Ларош також означав позитив, сказавши "монотонний". Якщо він цього не мав на увазі, ми можемо використовувати Планар Позитивну 1-в-3 Задовільність від Mulzer та Rote ' як вихідна проблема.

Дивіться цю відповідь на питання на cs.se