Наскільки обчислювальна здатність для важких завдань допомагає вирішувати легкі завдання

Коротше кажучи, питання полягає в тому, якою мірою обчислювальна здатність для важких завдань насправді допомагає вам у вирішенні простих завдань. (Можуть бути різні способи зробити це питання цікавим та нетривіальним. Ось одна з таких спроб.)

Питання 1:

Розглянемо схему розв’язання SAT для формули з n змінними. (Або для знаходження гамільтонового циклу для графіка з країв.) $n$

Припустимо, що кожен затвор дозволяє обчислити довільну булеву функцію на змінних. Для конкретності візьмемо . $m$ $m=0.6 n$

Сильна гіпотеза експоненціального часу (SETH) стверджує, що навіть при таких сильних воротах нам потрібен розмір суперполіноміального кола. Насправді нам потрібен розмір принаймні для кожногоУ певному сенсі ворота на частку змінних, які представляють дуже складні булеві функції (набагато вищі від NP-повноти), не дають вам великої переваги. $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

Ми можемо додатково запитати:

(i) Чи може ми мати таку схему розміром ? ? $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

Відповідь "ні" буде значним зміцненням НАТО. Звичайно, можливо, є проста відповідь «так», яку я просто сумую.

(ii) Якщо відповідь на (i) - ТАК, то ворота, які обчислюють довільні булеві функції, дають деякі переваги порівняно з воротами, які «просто» обчислюють (скажімо) довільні функції NP; чи лише менші екземпляри самого SAT?

Наступні спроби поставити запитання що - щось схоже на питання в . $P$

Питання 2:

Як і раніше, нехай а для конкретності покладіть . (Інші значення такі як , також представляють інтерес.) Розглянемо такі типи схем: $m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

а) За один крок ви можете обчислити довільну булеву функцію на змінних. $m$

б) За один крок ви можете вирішити задачі SAT з змінними. Або, можливо, довільна недетермінована схема розміру полінома в змінних. $m$ $m$

в) За один крок ви можете виконати довільну схему на змінних розміру ( зафіксовано). $m$ $m^d$ $d$

г) За один крок ви можете виконати звичайні булеві ворота.

Розглянемо питання пошуку ідеального узгодження для графіка з ребрами. Узгодження має схему розміру полінома. Питання полягає в тому, чи можна покращити показник у такому алгоритмі відповідності при переході від схем типу d) до схем типу c), і від схем розміру c) до схем розміру b), і від схем розміру b) ) до схем розміром а). $n$

(Це може бути пов'язано з відомими проблемами паралельних обчислень або про оракули.)

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— Гіл Калай
джерело

Насправді Сильний ETH не настільки сильний: він просто говорить, що ти не можеш мати єдиного алгоритму, що працює в

часу для SAT з

пунктами, для всіх

. Дозвіл довільних булевих функцій на малих наборах змінних переводить вас у нерівномірний ланцюг. "Неоднорідний СЕТ" є цікавим варіантом, але я не думаю, що він ще недостатньо вивчений.

O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

— Райан Вільямс

Шановний Раян, правда, мені просто зручніше розглядати нерівномірний випадок. Без відповіді на питання 1 буде значне зміцнення нерівномірного СЕТ. (Я вважав, що неоднорідний SETH є посиленням SETH, але, можливо, я помилявся.) Можливо, ви можете переформулювати питання 1 і 2 для єдиних алгоритмів. У будь-якому випадку, можливо, при таких сильних версіях SETH та нерівномірному SETH можна буде знайти контрприклад.

— Гіл Калай

Я думаю, ви хочете бути обережними щодо того, що таке

: у SETH він позначає кількість змінних, у наведеному вище, здається, позначається довжина введення. Якщо ви дозволяєте ворота , які можна «вирахувати SAT на

змінних примірників» це тривіально , щоб отримати глибину 2

ланцюг розміру для

змінної SAT: приймати чи за всіма можливими присвоєнь

змінних, використовуйте свої ворота SAT для вирішення SAT на решті

змінних. Але це, мабуть, не те, що ви шукаєте .... Це?

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

— Райан Вільямс

Підрахувавши ви повинні бути в змозі обчислити приблизно функції з такими ланцюгами розмір , тому я припустив би , що має бути досить , щоб обчислити всі функції. $2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— Боаз Барак
джерело

Привіт, @Boaz Barak. Не заперечуєте, якби я об’єднав два ваші акаунти на цьому сайті?

— Лев Рейзін

Дякую Боаз. Я думаю, що питання в цьому полягає: Якщо ви перейдете нижче того, що потрібно для обчислення всіх функцій, чи зможете ви все-таки обчислити NP-повну функцію.

— Гіл Калай