Повнота при ін'єкційних скороченнях Карпа

Скорочення Карпа - це обчислювальне багато-однократне скорочення між двома обчислювальними задачами. Багато скорочень Карпа - це фактично одна-одна функція. Це ставить питання про те, чи є кожне зменшення Карпа ін'єктивним (одна-одна функція).

Чи існує природна -повна проблема, яка, як відомо, є повною лише при скороченні Карпа багато-одного, і не відомо, що вона є повною при ін'єкційному зменшенні Карпа? Що ми отримуємо (і втрачаємо), якщо визначимо -комплектність за допомогою ін'єкційного зменшення Карпа? $NP$ $NP$

Одним із очевидних переваг є те, що рідкісні набори не можуть бути завершеними в умовах скорочення Карпа.

cc.complexity-theory

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Чому Карп використав багато-один скорочення полінома замість одного-одного скорочення? На нього вплинули скорочення, використані в теорії обчислень?

— Мохаммед Аль-Туркистан

Я думаю, я вже начебто вирішив це (або дуже споріднене) питання в коментарі до цієї відповіді: cstheory.stackexchange.com/a/172/129 .

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow Інжективність дає нам нижню межу щільності жорстких наборів. Чи знаєте ви про будь-яку проблему, що не стосується NP, яка, як відомо, не є повною при зменшенні ін'єкційного Карпа? Будь ласка, розгляньте, як розмістити свій коментар як відповідь.

— Мохаммед Аль-Туркстаній

Відповіді:

$|f(x)|>|x|$ $f$

$NP$ $P\neq NP$

$NP$

$NP$ $p$ $P\neq NP$
$P\neq NP$

$P\neq NP$

— Андрас Фараго
джерело

Зворотна функція збільшення довжини зменшується на довжину . Або я щось пропускаю?

— Еміль Йерабек

Крім того, чи означає p-ізоморфізм проблем, повних NP, тривальну причину того, що одноелементна мова не є ізоморфною для двоелементної мови чи вона є більш складною? Якщо ви дозволяєте обмежувати мови, заява має простий прямий доказ, і потрібна лише інжективність: а саме, мова з одним елементом є NP-повною при скороченні багато-одного, якщо P = NP, але не може бути NP-повною для однієї -одні скорочення.

— Emil Jeřábek

Чому слід наполягати на зменшенні ін'єкцій? Інжективність, здається, жодним чином не пов'язана з метою скорочення, тому природний вибір не вимагати цього. Є багато інших довільних обмежень, які можна було б накласти, але в чому справа?

— Emil Jeřábek

Чому не повинні бути скінченими множини NP-повними, коли P = NP? Зауважте, що в цій ситуації інші безглузді множини є NP-повними навіть при одному-одному зменшенні, наприклад, множині всіх непарних двійкових чисел.

— Еміль Єржабек

@JoshuaGrochow Нам не потрібно отримувати запрошення, зменшення від зворотного, щоб подбати про протилежну дірекцію. Якщо ми візьмемо дві NP-повні мови, вони обидві мають скорочення Карпа до іншої (але ці скорочення, як правило, не є зворотними одна до одної). Якщо тепер припустимо, що будь-яке зменшення Карпа можна зробити inv, li, тоді ми отримаємо скорочення inv, li в обох напрямках, тому цитованою теоремою вони можуть бути перетворені в p-ізоморфізм.

— Андрас Фараго

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Насправді, навіть потенційні "неприродні" приклади до конституції ізоморфізму - k-творчі набори теореми Джозефа та Янга - завершуються за рахунок скорочення один на один.

[Повторюємось із мого коментаря тут :] Оскільки більшість скорочень, які ми будуємо, насправді є одним-одним скороченням, чому б ми не вивчили їх, коли вони формально сильніші, і ми все-таки отримуємо їх більшу частину часу? Я думаю, тому що простіше не турбуватися про доказ ін’єктивності, навіть якщо ми зазвичай це маємо. У цьому сенсі, можливо, багато-одне скорочення є свого роду "скороченням Золотого": "тільки правильна сила, просто правильна простота доказування".

— Джошуа Грохов
джерело

Чи є інтуїтивне пояснення заданої творчості?

— Мохаммед Аль-Туркстаній

Дякую за відповідь. Я б хотів, щоб я зміг прийняти дві відповіді.

— Мохаммед Аль-Туркистан

Власне, ін'єкційні скорочення корисні в криптографії. Припустимо, у вас є система підтвердження ZK для відношення NP щодо мови L. Якщо ви хочете побудувати доказ ZK для іншого відношення NP R 'над мовою L', ви повинні знайти дві функції f і g із наступними властивостями : 1. x належить L 'iff f (x) належить L, 2. Якщо (x, w) належить R', то (f (x), g (x, w)) належить R. 3. Більше того , f і g повинні бути ефективно обчислені.

Наведені вище властивості означають, що якщо система доказів для R є повною та надійною, система доказів для R '(визначена очевидним способом за допомогою наведених вище функцій для зменшення випадків відношення до іншої) є повною і надійною.

А як довести, що нова система також є ZK або не відрізняє свідків (WI)? Якщо f є зворотним, ви можете довести, що отримана таким чином система доказування ZK. В іншому випадку, щоб довести, що ви повинні припустити, що система доведення для R є допоміжним входом ZK (а не просто ZK). Для WI, якщо f є зворотним, ви можете довести, що система доказування R 'є WI. Без факту, що f є зворотним, я не впевнений, чи можете ви це довести

— Вінченцо ІОВІНО
джерело