Часова складність з ірраціональним показником?

Чи є якась природна проблема в P, для якої найвідоміший зв'язаний час виконання має вигляд , де - ірраціональна константа? $O(n^\alpha)$ $\alpha$

cc.complexity-theory time-complexity polynomial-time

— Андрас Фараго
джерело

Акуратне питання! :)

— Michael Wehar

див. також золоте співвідношення або під час виконання

π

$\pi$ . це може бути великим списком ...

— vzn

Сортування мультисети становить приблизно nH + n, тому, якщо вам вдасться отримати H (ентропію), щоб перейти до деякого

n^{α - 1}

$n^{\alpha-1}$ що технічно було б кваліфіковано. Я б це не називав "природним". Однак може бути якась більш природна проблема, коли введення зменшується таким чином.

— KWillets

Хоча, правда, я ще не робив аналіз, і це не є суворо проблемою рішення, я готовий поставити під заклад найвідоміші алгоритми множення матриць (Копперсміт, Виноград, Стотерс, Вільямс та ін.) Мають нераціональний показник.

Це чіткіше видно в простому випадку алгоритму Страссена, який має час роботи . $O(n^{\log_2 7})$

І це не саме те, що ви запитували, але Райан Вільямс показав, що всі алгоритми, що вирішують SAT в просторі вимагають часу , що є ще одним цікавим і незвичним поява ірраціональної константи в ТКС. $n^{o(1)}$ $n^{2 \cos(\pi/7) - o(1)}$

— Джо Бебель
джерело

Алгоритми поза алгоритмом Страссена насправді не працюють в

для заявленого показника

. Скоріше, для кожного

вони працюють в

. Це пов’язано з кількома межами, пов'язаними з отриманням

O (n^{α})

$O(n^\alpha)$

α

$\alpha$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

O_{ϵ} (n^{α + ϵ})

$O_\epsilon(n^{\alpha+\epsilon})$

α

$\alpha$

— Yuval Filmus

Часова складність алгоритму Страссена - це справді артефакт магістрального повторення вирішує . Ви можете придумати багато ваших улюблених ірраціональних чисел, інстанції і з різними значеннями.

T (n) = a T (n / b) + f (n)

$T(n) = a T(n/b) + f(n)$

Θ (n^{\log_{b} a})

$\Theta(n^{\log_b a})$

a

$a$

b

$b$

— Гек Беннетт

Так, я згоден з обома. Я подумав, що вже втрачаю визначення P, і фактично не перевірив, чи є показники множення матриці ірраціональними. Хоча я був би здивований, якби вони були раціональними, враховуючи те, як вони виводяться. Швидке множення матриць все ще перегукується з основним методом ділення та підкорення Страссена, хоча це описано тензорною мовою зараз. Насправді, хоча легко побудувати алгоритми, як ви описуєте з ірраціональним , я не можу придумати жоден інший природний алгоритм поділу та перемоги з таким властивістю, крім множення.

\log_{b} a

$\log_b a$

— Джо Бебель

Деякі алгоритми множення цілих чисел мають ірраціональні показники, якщо я правильно пам'ятаю.

— Yuval Filmus

Правильно, як у Карацуби. Але це все-таки множення :)

— Джо Бебель