Некрологи мертвих гіпотез

Я шукаю здогадки про алгоритми та складність, які багато хтось вважав достовірними, але пізніше їх або спростували, або, принаймні, не повірили, завдяки встановленню зустрічних доказів. Ось два приклади:

1. Випадкова гіпотеза про оракул: зв’язки між класами складності, які стосуються майже всіх релятивізованих світів, також мають місце у нереалізованому випадку. Це було спростовано результатом $IP=PSPACE$ , і показавши, що $IP^X\neq PSPACE^X$ справедливо для майже всіх випадкових оракул $X$ , див . Гіпотеза про випадковий оракул є помилковою .

2. Обмежена випадковість помилок належним чином розширює потужність поліноміального часу (тобто $P\neq BPP$ ). На це вірили деякий час, але пізніше, завдяки складним результатам дерандомізації та їх зв’язків із складністю ланцюга, протилежна гіпотеза ( $P=BPP$ ) стала поширеною (хоча й досі відкритою).

Які ще гіпотези, які не змогли перевірити час?

$\mathsf{NL} \neq \mathsf{coNL}$ . До того, як ці двоє були рівними, я вважаю, що широко поширена думка, що вони відрізняються, за аналогією з переконанням, що (тобто загальний принцип, що "недетермінізм та співпраця недетермінізми різні "; це виявилося помилковим в межах простору складності, які були принаймні логарифмічними).$\mathsf{NP} \neq \mathsf{coNP}$

До вважалося можливим, що навіть не міститься у : у Fortnow-Sipser 1988 вони придумали це так і дали оракул, щодо якого це було правдою.c o N P I $\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{coNP}$$\mathsf{IP}$

Програми розгалуження постійної ширини потребують підрахунку більшої довжини полінома : Після того, як Фурст-Сакс-Сіпсер і Айтай в 1981 році показали, що ланцюги змінного струму ⁰ не можуть підрахувати, здавалося, наступним кроком буде показати, що програми розгалуження постійної ширини полінома довжина не могла порахувати, що було загальноприйнятим. Девід Баррінгтон в 1986 році показав, що вони не тільки вміють рахувати, але і що вони еквівалентні NC ¹ .

Конструкція : Для будь-якого детермінованого алгоритму для потрібен час.3 S U M Ω ( n 2$\mathsf{3SUM}$$\mathsf{3SUM}$$\Omega(n^2)$

Це було спростовано у 2014 році Алланом Грьонлундом та Сет Петті, які дали детермінований алгоритм, який працює в час [1].$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$

[1] Утрьох, породжені та любовні трикутники. Аллан Гронлунд та Сет Петті. In Foundations of Computer Science (FOCS) 2014, стор 621-630. arXiv: 1404.0799 [cs.DS]

Розв’язання десятої задачі Гільберта Девісом, Матіясевичем, Путнамом та Робінзоном показало, що рекурсивно численні множини - це саме Діофантинові множини.

(Я відтворюю тут допис у блозі , Hindsight , пару років тому, як це запропоновано в коментарях.)

З огляду Георга Крейзеля на вирішення проблеми вирішення експоненціальних діофантинових рівнянь Мартіна Девіса, Хіларі Путнам та Джулії Робінсон, Енн. математики. (2), 74 (3) , (1961), 425–436. MR0133227 (24 # A3061) .

У цьому документі встановлено, що кожен рекурсивно перелічуваний (пере) набір може бути екзистенційно визначений у термінах експоненції. […] Ці результати поверхнево пов'язані з десятою проблемою Гільберта щодо (звичайних, тобто неекспоненціальних) рівнянь Діофантина. Доведення результатів авторів, хоч і дуже елегантне, але не використовує повторно обумовлених фактів ні в теорії чисел, ні в теорії перестановок, і тому, ймовірно, даний результат не тісно пов'язаний з десятою проблемою Гільберта. Крім того, зовсім неправдоподібно, що всі (звичайні) проблеми Діофантину однорідно зводяться до тих, що мають фіксовану кількість змінних фіксованого ступеня, що було б у випадку, якщо б усі передумови були Діофантином.

Звичайно, моя улюблена цитата стосовно десятої проблеми - від передмови Мартіна Девіса до десятої проблеми Гільберта Юрія Матіясевича .

Протягом 1960-х років мені часто доводилося читати лекції з Десятої проблеми Гільберта. У той час було відомо, що нерозв’язність випливає з існування єдиного рівняння Діофантіна, яке задовольняло б умову, сформульовану Джулією Робінсон. Однак видати таке рівняння було надзвичайно важко, і справді переважала думка, що навряд чи існує. У своїх лекціях я наголошу на важливих наслідках, які випливали б з доказів чи протиріччя існування такого рівняння. Неодмінно під час періоду запитань мене попросили б власну думку щодо того, як вийдуть справи, і я підготував свою відповідь: "Я думаю, що гіпотеза Джулії Робінсон правдива, і це буде доведено розумним молодим росіянином".

Програма Гільберта та його «здогадка» про визнаність формальних теорій. Він був сформульований на початку 1920-х і його переслідували він та його співробітники в Геттінгенському університеті та інших місцях у 1920-1930-х роках.

"З цим новим обґрунтуванням математики - яке можна належним чином назвати доказовою теорією - я вважаю, що розпоряджаюся основоположними питаннями з математики як такою раз і назавжди, перетворюючи кожне математичне твердження в конкретно виставкову і суворо виправдовувану формулу і тим самим переносячи цілий комплекс питань у галузі чистої математики ".

Добре відомо, що пропозиції Гільберта "врізалися" (досить швидко [1931]) в теорему про незавершеність Годеля .

Для отримання хорошого огляду програми Гільберта та подальших розробок див.: Річард Зах; Програма Гільберта тоді і зараз; Довідник з філософії науки. Том 5: Філософія логіки; 2006 рік

Дивіться також відповідь Андреса Каєкідо щодо іншого аспекту історії: десята проблема Гільберта, яка була вирішена лише в 1970 році.

У лекції Мадху Судана * він стверджував, що існує певна віра, що існує така, що , через напіввизначене програмування до доведення теореми Хестада про три біти PCP.РСР 1 , їв [ Журнал п , 3 ] ⊆ $s > 1/2$$\text{PCP}_{1,s}[ \log n, 3] \subseteq \text{P}$

Дійсно SDP показує , що чітко обмежує складність таких ПКП.$\text{PCP}_{1,1/2}[ \log n, 3] = \text{P}$

(* Я знайшов цю лекцію Мадху, опубліковану в «Теорії обчислювальної складності за редакцією Рудіха / Вігдерсона»)

здогадки коливаються в діапазоні від формального до неформального. Наприклад, відома гіпотеза Гільбертса про прийнятність математики була сформована у декілька проблем, наприклад, десята проблема Гільберта, але це також була більш грандіозна неформальна гіпотеза, що охоплює все поле. це також можна розглядати як запропоновану дослідницьку програму.

Одним із простих рецептів знайти такий "некролог мертвих домислів" було б розглянути "мета-" твердження "[x] гіпотезу, яку можна було довести за мого життя". Математична література сповнена таких тверджень / очікувань, які виявилися "помилковими" в сенсі цілковито протистояння очікуванням щодо складності та доступності доказу. класична - гіпотеза Рімана, відкрита понад ~ 1½ століття. застосувати цю ж модель до теорії складності не так просто, оскільки теорія складності - набагато молодша наукова галузь. однак, ось ключовий приклад.

Раннє відкриття проблеми П vs НП (зараз відкрита 4½ десятиліття) мала певну невинність у тому, що оригінальні слідчі не мали і не могли собі уявити, якою важкою чи наскрізною проблемою виявиться ця проблема. щоб зробити це більш конкретним, розглянемо поле складності ланцюга, винайдене на початку 1980-х, наприклад, Сіпсером. це була дослідницька програма, дещо схожа на Гільберта, яка почасти монтувалася до нападу на П проти НП. деякі історичні результати узагальнені Arvind в цьому рефераті / вступі Стовпчик обчислювальної складності, BEATCS 106 :

1980-ті роки були золотим періодом для нижньої межі складності булевих схем. Були великі прориви. Наприклад, нижня межа експоненціального розміру Разборова для монотонних булевих схем, що обчислюють функцію Кліка, і нижню межу суперполіномального розміру Розборова-Смоленського для контурів постійної глибини з воротами MOD _p для простого p. Ці результати зробили дослідників оптимістичними щодо прогресу у великих питаннях нижньої межі та роздільності класів складності. Однак в останні два десятиліття цей оптимізм поступово перетворився на відчай. Ми досі не знаємо, як довести суперполіноміальну нижню межу для ланцюгів постійної глибини за допомогою воріт MOD ₆ для функції, що обчислюється за експоненціальний час.

було два ключові папери, які збивали надії в полі. Розборов мав чудові / знамениті результати на функції Клік, але потім написав два протилежних документи. в одному документі було показано, що відповідність, проблема P часу, вимагає експоненціальних монотонних схем, і тому в деякому сенсі підхід монотонної схеми до нижніх меж був зірваний через відсутність відповідності в складності немонотонним ("повним") ланцюгам (все ще не повністю) зрозумів).

про це було розгорнуто в його відомому документі « Природні докази», співавторованому з Рудичем, в якому показано, що всі докази нижньої межі попереднього контуру підпорядковані певній схемі, яка має доказову слабкість у сенсі суперечності з вигаданими нижчими межами на твердих генераторах випадкових чисел від криптографія.

значить, певною мірою ланцюги "впали від благодаті". Це все ще велика область досліджень, але загальноприйнята мудрість, підкріплена технічними результатами, полягає в тому, що для досягнення сильних результатів у цій галузі потрібні якісь спеціальні досі невідомі доказові структури / структури. насправді так само можна припустити, що навіть "сильні нижчі межі в теорії складності" зараз вважаються вкрай важкими, і цього не було очікувано / прогнозувалося в молодші дні поля. але з іншого боку, це згрупує їх там у складності / значущості / важливості з великими (відкритими) проблемами математики.