Чи вирішується, чи обмежена вихідна довжина перетворювача довжиною входу?

Розглянуті тут перетворювачі - це ті, що у Вікіпедії називають перетворювачами кінцевого стану . Поведінка перетворювача , тобто відношення, яке він обчислює, записується : слово - вихід для iff . $T$ $[T]$ $y$ $x$ $x[T]y$

Питання: Чи вирішується така проблема:

Дано: перетворювач і регулярний мову Визначте: Чи означає це вважати , що , слова, означає , що ? $T$ $L$
$\forall x \in L$ $\forall y$ $x[T]y$ $|y| \leq |x|$

Я шукаю нетривіальний аналіз / вирішувані підкадри, зведення до відомих проблем та / або пов'язаних з цим посилань. (зараз навіть не впевнений, що це рішимо взагалі ...?)

Мотивація: ця проблема була натхненна аналізом / дослідженням автоматизованої теореми, що підтверджує число теоретичних задач в цілому, і досить вивченою, гіпотезі Колатца , зокрема.

— взн
джерело

ps (слід було б згадати, як давно відомо) FSM-перетворювачі досить потужні для обчислення одиночних ітерацій ТМ «миттєві описи» . отже , проблема , як видається , можливо, пов'язані з НКС і CSLs .

— vzn

За

Ви говорите про кількість виходів на вході

, правда? Не розмір виходів, і в цьому випадку це було б досить просто.

| F (x) |

$|F(x)|$

x

$x$

— Michaël Cadilhac

це і слова, і

- довжина слова "вихід". Ви маєте кілька ідей, але не бачите нічого прямого на даний момент, звідси питання. його, мабуть, нетривіальний, наприклад, через

входи / виходи на деяких переходах тощо

x, F (x)

$x, F(x)$

| F (x) |

$|F(x)|$

ϵ

$\epsilon$

— vzn

Таким чином, ви неявно припускаєте, що ваш перетворювач функціональний - в нотації, мені не було зрозуміло :-) Тож щодо наступного: Нехай

є (можливо, недетермінованим) перетворювачем, а

- заданою регулярною мовою. Змініть

на перетворювач

щоб він перевіряв, чи є його вхід у

, і чи всі його стани доступні та сумісні. Тоді

для всіх

iff немає простого циклу в перетворювачі

T

$T$

L

$L$

T

$T$

T^{'}

$T'$

L

$L$

| T (w) | \leq | w |

$|T(w)| \leq |w|$

w \in L

$w \in L$

T^{'}

$T'$ для яких вхід менший, ніж вихід, і деякі додаткові прості властивості на переходах, які не з'являються в жодному SCC.

— Michaël Cadilhac

добре. для "вхід менший за вихід", який ви маєте на увазі протягом циклу? думаю, що це варто написати як відповідь. був інший спосіб сформулювати цю / пов’язану проблему з більш жорсткими критеріями, який, мабуть, не є (як) простим, можливо, спробую ще раз це ("частина 2 / продовження / подальший допис"), якщо ваша відповідь здасться правильною. ця поточна проблема, мабуть, майже окремий випадок широкої проблеми.

— vzn

Інший учасник видалив свою відповідь, можливо, дозвольте мені поширити свій вище коментар, тож ось він.

Нехай - можливо недетермінований перетворювач, а - звичайна мова. Змініть у перетворювач який перевіряє, чи є його вхід у (шляхом, наприклад, зміни стану, встановленого на декартовий добуток наборів станів і , та модифікації функції переходу таким чином, що частина станів належним чином оновлюється, зберігаючи поведінку ). $T$ $L$ $T$ $T'$ $L$ $T$ $L$ $L$ $T$

Гілка з являє собою послідовність таке , що є прийняття простий шлях в , і кожен з це сильно пов'язаний компонент стани якого включають призначення (і початок $T'$ $\rho_1 C_1\rho_2 C_2 \cdots \rho_n C_n \rho_{n+1}$ $\rho_1\rho_2 \cdots \rho_{n+1}$ $T'$ $C_i$ $T'$ $\rho_i$ ). Гілкаприручена,якщо: $\rho_{i+1}$

Вхідна довжина шляху більша або дорівнює його вихідній довжині; $\rho_1\rho_2\cdots\rho_{n+1}$
Для будь-якого , будь-якого простого циклу в , довжина вводу циклу більша або дорівнює його вихідній довжині. $i$ $C_i$

Факт: Для будь-яких , випливає iff всі гілки приручені. $\big[$ $x, y$ $x[T']y$ $|y| \leq |x|$ $\big]$

Доказ досить негайний. Останнє властивість, яке визначається (оскільки кількість гілок обмежене і кількість простих циклів теж), це показує, що проблема питання вирішується.

— Міхаель Каділхак
джерело

З опису видно, що це навіть рішуче в NL (отже, P), якщо

дається FSA.

L

$L$

— Еміль Єржабек

Я надіслав вам повідомлення (вибачте, що не прочитав уважно ваш коментар перед публікацією), але, ймовірно, ви його не отримали після видалення відповіді :-) ... але тепер - як відшкодування за час - вам слід перейти на (і вирішити!) ця хитріша: " Відкрита проблема : Чи існує

та обчислювальне кодування

таке, що для всіх

?" :-D :-D

n \geq 1

$n \geq 1$

S_{n}

$S_n$

k \geq 1

$k \geq 1$

L_{\leq n}^{S_{n}} = L_{\leq n + k}^{S_{n}}

$L^{S_n}_{\leq n} = L^{S_n}_{\leq n+k}$

— Marzio De Biasi

@ EmilJeřábek Дійсно, це досить чітко в ко-NL (отже, в NL).

— Michaël Cadilhac

@MarzioDeBiasi Дякую! Я дійсно не бачив вашого повідомлення ☺ Я попрацюю над поверненням вашого часу, коли у мене є якісь ☺

— Michaël Cadilhac