Легко оптимізувати, але важко оцінити

Чи існують відомі природні приклади проблем оптимізації, для яких набагато простіше виробити оптимальне рішення, ніж оцінювати якість заданого рішення кандидата?

Для конкретності ми можемо розглянути задачі оптимізації поліноміально-часових задач вигляду: "заданий х, мінімізувати ", де f : { 0 , 1 } ∗ × { 0 , 1 } ∗ → N це, скажімо, # P-важко. Такі проблеми явно існують (наприклад, у нас може бути f ( x , 0 ) = 0 для всіх x, навіть якщо f є непорушним), але я шукаю "природні" проблеми, що виявляють це явище.$f(x, y)$$f:\{0,1\}^*\times\{0,1\}^* \to \mathbb{N}$$f(x, 0) = 0$$x$$f$

У роботі [1] існує проблема властивості, що пошук оптимального елемента займає поліноміальний час, незважаючи на те, що обчислення значень об'єктивної функції є важким NP (це означає, що оцінювати якість заданого рішення кандидата також є важким NP ).

[1] TCECheng, Y.Shafransky, CTNg. Альтернативний підхід для підтвердження NP-жорсткості проблем оптимізації. Європейський журнал оперативних досліджень 248 (2016) 52–58.

Яків Шафранський

Ось приклад, коли можна виробляти рішення в поліноміальний час, але оцінка даного рішення є NP- твердою.

$n,k$$k\leq n$

$n$$k$

$T(n,k)$$k$

Примітка: Якщо ми хочемо лише перевірити, чи рішення є оптимальним , то це легко, адже граф Турана, як відомо, є унікальним оптимальним, тому досить порівняти графік-кандидат з графіком Турана, який має просту структуру . З іншого боку, якщо ми хочемо оцінити якість рішення кандидата, як вимагається у запитанні, тобто, чи це можливо і наскільки це далеко від оптимального, тоді ми повинні перевірити, чи задовольняє він максимальний клік обмеження.