Покращення загального зниження Кука для Clique до SAT?

Мені цікаво зменшити -Clique до SAT, не зробивши примірник значно більшим. $k$

Кліка знаходиться в NP, тому її можна звести до SAT, використовуючи логарифмічний простір. Безпосереднє зменшення підручника Гарі / Джонсона підриває екземпляр до кубічного розміру. Однак -Clique є в P для кожного фіксованого тому "повинно" бути ефективне зниження принаймні для фіксованого . $k$ $k$ $k$

Один із способів побудови скорочення - це використання змінних SAT як характерного вектора , зі змінною, встановленою на істинну, що вказує на те, що пов'язана вершина знаходиться в кліці. Це зменшення природне, але створює екземпляр SAT квадратичного розміру, якщо графік розріджений. Для розрізненого графа потрібно четверо багато застережень, щоб забезпечити, щоб у кожній парі суміжних вершин максимум одна вершина могла знаходитись у кліці.

Спробуємо зробити краще, ніж . $O(n^2)$

Загальне скорочення Кука / Шнорра / Піппенгера / Фішера працює, спочатку приймаючи поліноміально обмежений часом NDTM, який визначає мову, моделюючи NDTM за допомогою невідомого DTM, моделюючи обертальний DTM схемою, а потім моделюючи ланцюг 3 -SAT екземпляр. Це створює екземпляр 3-SAT розміром якщо обмежений час NDTM дорівнює . Коефіцієнт журналу видається неминучим через накладні витрати під час імітації замикаючої машини. Для -Clique, здається, є $O(t(n)\log t(n))$ $t(n)$ $k$ , що дає екземпляр 3-SAT розміру , який єквазілінійнимдля фіксованого . У своєму документі 1988 року Кук запитав, чи існує краща загальна редукція для мов у НП, і наскільки я знаю, це все ще залишається відкритим. Однак у Кліка багато структури, тому, можливо, в цьому випадку можна зробити краще. $t(n) = O(nk)$ $O(nk(\log n + \log k))$ $k$

Чи відомо про кращий скорочення від Clique до SAT?

Зокрема, чи можливо для фіксованого зменшити -Clique до SAT, зберігаючи збільшення розміру екземпляра лінійним? Або можна використовувати наявний результат, щоб стверджувати, що це навряд чи можливо? Я намагався використовувати Fortnow / Santhanam і Dell / van Melkebeek, але накладні витрати здаються занадто великими, щоб мати на увазі щось конкретне. $k$ $k$

(Я працював зі скороченням, яке, схоже, уникає фактора журналу, але перш ніж витрачати більше часу на деталі горі, щоб перевірити його правильність, я хотів би знати, чи таке зменшення вже відомо, чи це навряд чи існують.)

— Андраш Саламон
джерело

Дивіться дещо пов’язане питання mathoverflow.net/q/224898/440 на MathOverflow, в якому невеликий розмір кількісно визначеної булевої формули для

-clique безпосередньо перекладається у повільну швидкість конвергенції закону 0-1 для випадкових графіків. Питання вже містить формулу квадратичного розміру; прийнята відповідь дає формулу лінійного розміру, яка передбачає існування

кліки, але це може бути помилковим навіть тоді, коли існує кліка.

k

$k$

k

$k$

— Девід Еппштейн

k

$k$

k

$k$

k

$k$

k \log n

$k\log n$

k \log n

$k\log n$

k

$k$

k

$k$

$k$ $O(nk)$ $O(nk^2)$ $k$ $n$

$x_{iv}=1$ $v$ $i$ $x_i$ $i$ $nk$

$(i,j)$ $n$ $(\neg x_{iu} \lor x_{jv_1} \lor \dots \lor x_{jv_m})$ $v_1,\dots,v_m$ $u$ $u$ $O(nk^2)$

$i$ $x_i$ $x_i < x_{i+1}$ $O(n)$ $O(nk)$

$k \lg n$ $\lg n$ $i$ $k$ $k(k-1)/2$ $O((n+m+k^2) \text{poly}(\lg n))$ $m =$

— DW
джерело