Детальніше про PH в PP?

Недавній питання по Гека Bennett з проханням , чи був клас PH міститься в класі РР, отримав кілька суперечливі відповіді (все це правда, здається). З одного боку, кілька результатів оракулу давали протилежне, а з іншого Скотт припустив, що відповідь, ймовірно, позитивна, оскільки теорема Тоди показує, що PH знаходиться в BP.PP, імовірнісному варіанті PP, і ми зазвичай вважаємо, що рандомізація робить Не дуже допомагають, наприклад, припустимі розумні твердості передбачають PRG, які можуть замінити рандомізацію.

Тепер, у випадку з ПП, не зовсім зрозуміло, що навіть "досконалий" ПРГ буде означати повну дерандомізацію, оскільки природна дерандомізація запустила б оригінальний алгоритм з виведенням PRG для всіх поліноміально-багатьох можливих насінь і взяла б більшість голосів . Незрозуміло, що прийняття більшості голосів серед обчислень ПП - це те, що можна зробити в самому ПП. Однак документ Fortnow і Reingold показує, що ПП закритий при зменшенні таблиці істинності (що розширює дивовижний результат, що ПП закритий під перетином), що, здається, достатньо для того, щоб прийняти цю більшість голосів.

Тож у чому тут питання? Тода, Фортноу-Рейнгольд і всі дерандомізації на основі PRG, схоже, релятивізуються, тому це означатиме, що PH в ПП для кожного оракула, для якого існують відповідні PRG. Так що для всіх оракулів , при яких PP не містить PH (наприклад , від Мінська і паперті, по Beigel , або по Верещагін ), PRGS для ПП не існує. Зокрема, це означає, що для цих оракул у EXP немає належних жорстких функцій (інакше існували б NG-IW-подібні PRG). Дивлячись на позитивну сторону, це означає, що десь усередині кожного з цих результатів оракул ховається (нерівномірний) ПП-алгоритм для (наближення) EXP з цим оракулом. Це дивно, оскільки, здається, всі ці результати оракула покладаються на нові нижчі межі ПП(для порогових ланцюгів) і прямо вперед у своїй машині для створення оракул, тому я не бачу, де ховається верхня межа ПП. Можливо, ця верхня межа буде працювати загалом, показуючи, що (нерівномірний) -PP може обчислити (або принаймні дати деяку зміщення) всій EXP? Невже щось подібне не дасть принаймні CH моделювання досвіду?

Отже, я гадаю, що моє запитання двояке: (1) чи має сенс цей ланцюжок міркувань? (2) Якщо так, то хтось може "розкрити" маються на увазі верхні межі для ПП?

Редагувати Аарон Стерлінг: натискання на головну сторінку та додавання щедрості. Це було одне з моїх улюблених питань, і на це досі немає відповідей.

— Нім
джерело

f : {0, 1}^{N} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^N \rightarrow \{ 0,1\}$

A

$A$

L_{A} = {1^{n} | f (A_{n}) = 1}

$L_A= \{1^n | f(A_n)=1\}$

A_{n}

$A_n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

A

$A$

f \in A C 0

$f \in AC0$

L_{A} \in P H^{A}

$L_A \in PH^A$

A

$A$

t

$t$

A_{n}

$A_n$

n

$n$

t

$t$

1^{n} \in L_{A} ?

$1^n \in L_A?$

f

$f$

L_{A} \notin P P^{A}

$L_A \not\in PP^A$

L_{A} \in P P^{A} | p o l y

$L_A \in PP^A|poly$

L_{A} \notin P P^{A} / p o l y

$L_A \not\in PP^A/poly$

f

$f$

n

$n$

L_{A} = {x | f (A_{x}) = 1}

$L_A = \{ x | f(A_x)=1\}$

n

$n$

x

$x$

A_{x}

$A_x$

2^{n}

$2^n$

x y \in A

$xy \in A$

2^{n}

$2^n$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

N

$N$

f

$f$

N

$N$

f \in A C 0

$f \in AC0$

Подумайте про це, зауваження, що під кожним оракулом, який робить PH / ⊆ PP, немає ефективних PRG, які дурять алгоритми BP.PP, не повинні бути дивнішими, ніж той факт, що під кожним оракулом, який робить BPP / ⊆ P, є відсутні ефективні PRG, які обдурюють алгоритми BPP. Це тому, що кожен оракул, який робить PH / ⊆ PP, також робить BP.PP / ⊆ PP за теоремою Тоди (релятивізований). Але, можливо, я пропускаю суть. -

— slimton

P^{A} \neq B P P^{A}

$P^A \ne BPP^A$

B P P^{A}

$BPP^A$

P^{A} / p o l y

$P^A/poly$

P H^{A} ⊈ P P^{A}

$PH^A \not\subseteq PP^A$

P^{A}

$P^A$

P P^{A}

$PP^A$

— Ноам

Як я вже зауважував вище: у конструкціях для суть конструкції дає "неприродну" владу БПП (а отже, і P / poly), наприклад, посаджуючи безліч свідків жорсткого оракула в місцях, де їх може знайти лише рандомізація. Тож як це справді цікаво, що цієї потужності вистачає для "загальних" проблем, хоча б несподівана потужність P / poly зрозуміла. З іншого боку, я ніде не бачу, що оракул для відділення PH від PP дає насправді неприродну силу P / poly чи будь-який інший клас. Я не впевнений, що ця різниця є "реальною".

P \neq B P P

$P \ne BPP$

— Ноам

За роботою Кліванаса і Ван Мелькебека (що релятивізується), якщо E = DTIME ( ) не має схем з воротами PP розміром тоді PH знаходиться в PP. Контрапозитив говорить про те, що якщо PH не знаходиться в PP, то E має схеми підекспонентного розміру з воротами PP. Це узгоджується з тим, що доказ про оракул PH, який не є в РР, дає відносну нижню межу для ПП. Немає підстав вважати, що це передбачає будь-яку верхню межу для ПП або будь-яку міцність для ланцюгів без воріт ПП. $2^{O(n)}$ $2^{o(n)}$

— Ленс Фортнов
джерело

Правильно. Виправлено.

— Lance Fortnow