Власність Церкви-Роззера для залежно набраного лямбда-числення?

Загальновідомо, що властивість Church-Rosser справедливо для -редукції в просто набраному лямбдальному обчисленні. Це означає, що обчислення є послідовним, в тому сенсі, що не всі рівняння, що включають -терміни, є похідними: наприклад, K I , оскільки вони не мають однакової нормальної форми.λ $\beta \eta$$\lambda$$\neq$

Також відомо, що можна поширити результат на пари, які відповідають типам продукції.

Але мені цікаво, чи можна далі розширити результат для залежно набраного лямбдального числення (можливо) з поліморфними типами, наприклад, обчислення конструкцій?

Будь-які посилання також були б чудовими!

Спасибі

Можливо, буде корисно швидко навести зустрічний приклад CR у введених обчисленнях з та :$\beta$$\eta$

$$t=\lambda x:A.(\lambda y:B.\ y)\ x$$

І у нас є і т → п А , у : Б .

$$t\rightarrow_\beta \lambda x: A.x$$ $$t\rightarrow_\eta \lambda y:B.y$$

Безпосередньо, що якщо , то два результуючі доданки насправді є еквівалентом, але немає ніяких причин для цього в нетипізованих умовах.$A\equiv B$$\alpha$

На введених термінах цілком зрозуміло, що повинен бути рівним щоб отриманий результат був добре набраний. Велика складність, яка виникає, полягає в наступному:Б $A$$B$$t$

Для систем, що залежать від типу, впадіння потрібно довести перед збереженням типу!

Це тому, що вам потрібна властивість -інтенсивності , щоб довести інверсію, яка необхідна для підтвердження збереження / зменшення предмета.$\Pi$

$$\Pi x:A.B=_{\beta\eta}\Pi x:A'.B'\ \Leftrightarrow\ A=_{\beta\eta}A'\wedge B=_{\beta\eta} B'$$

Таким чином, ви навіть не можете довести, що -reductions зберігають типи без злиття, але злиття навіть не втримується на нетипізованих / неправильно набраних умовах!$\beta\eta$

Вихід із цього порочного кола вимагає деяких технічних хитрощів, які тут важко підсумувати, але, мабуть, найпростіше зрозуміти - просто перестати цікавитись -редукціями, а замість цього зосередитись на -expansions :п т → п * λ х : . t $\eta$$\eta$$t\rightarrow_{\eta*}\lambda x:A.t\ x$

Звичайно, вам потрібно обмежити це правило не- та не застосовуються терміни, щоб навіть сподіватися на припинення, але з цими обмеженнями здається, що поведінка скорочення набагато краще поводиться, і мета-теорія працює без надто великої кількості багато проблем. Хорошим посиланням, здається, є Ніл Гані, Ета-розширення в теорії залежного типу .$\lambda$

Інший і останнім часом досить популярний підхід описаний Абелем, Нетипова алгоритмічна рівність для Логічної рамки Мартіна-Лефа з сюррективними парами .

Зовсім небагато відомо про це. Концепція систем чистого типу (PTS) корисна для показу Church-Rosser (CR) для великих класів набраних -calculi. Перефразовуючи (1):$\lambda$

• PTS з лише зниженням β задовольняє CR за типовими умовами. Це негайно випливає з CR про "псевдотерміни" разом із зменшенням теми.

• Для PTS з βη-редукцією, CR на множині псевдотерм є хибним. Див. (2).

• У ПТС із зменшенням βη CR справедливо для добре введених термінів фіксованого типу . Див. (1).

PTS є дуже загальними формалізмами і включають системи F, Fω, LF, а також обчислення конструкцій. Останні два залежать від типу. Обидва (1, 2) - досить старі папери, і я думаю, що більше відомо в 2015 році.

---

^{1. Х. Джуверс, властивість Церкви-$\lambda$ Роззера для зменшення βη введених -calculi .}

^{2. Р.П. Недерпельт, сильна нормалізація в типовому обчисленні лямбда з структурою типів лямбда .}