Наскільки поширений фазовий перехід при повних задачах NP?

Добре відомо, що багато проблем, повних NP, виявляють фазовий перехід. Мене тут цікавить фазовий перехід щодо стримування мови, а не твердості введення стосовно алгоритму.

Щоб зробити поняття однозначним, давайте формально визначимо його наступним чином. Мова $L$ демонструє фазовий перехід (щодо стримування), якщо

1. Існує параметр порядку $r(x)$ , який є обчислюваною в поліномії часом реальною значенням функції екземпляра.

2. Існує поріг $t$ . Це або реальна константа, або може залежати від $n=|x|$, тобто $t=t(n)$ .

3. Для майже кожного з р ( х ) < т , ми маємо х ∈ L . ( Практично кожен означає тут: все, але зникає безліч, тобто пропорція наближається до 1, як n → $x$$r(x)<t$$x\in L$$n\rightarrow\infty$ ).

4. Майже для кожного з r ( x ) > t маємо x ∉ $x$$r(x)>t$$x\notin L$ .

5. Майже для кожного , що r ( x ) ≠ $x$$r(x)\neq t$ . (Тобто перехідний регіон "вузький".)

Багато проблем, повних природних НП, демонструють фазовий перехід у цьому сенсі. Прикладами є численні варіанти SAT, усі властивості монотонного графіка, різні проблеми задоволення обмежень та, ймовірно, багато інших.

Питання: Які є "приємні" винятки? Чи існує природна повна NP-проблема, яка (ймовірно) не має фазового переходу у вищезгаданому сенсі?

Експерти-дослідники в цій галузі в основному стверджують, що фазові переходи є універсальною особливістю повних проблем НП, хоча це ще не сформульовано / доведено суворо, і це ще не широко розглядається / розповсюджується в більш широкій галузі (це виходить більше з емпірично орієнтованих галузь навчання). його майже відкрита думка. є вагомі докази. не існує правдоподібних кандидатів для повних проблем НП з фазовим переходом. ось два відповіді, які підтримують цю версію:

• Фазові переходи в проблемах, повних NP - завдання: ймовірність, комбінаторика та інформатика / Мур

• Поведінка фазового переходу / Уолш (ppt)

ось приблизний нарис істинності твердження. це стосується P, що міститься в NP в комплекті. NP-повна проблема / мова повинна мати випадки, які можна вирішити за P час, та інші, які вирішуються в експоненціальний (або принаймні суперполіноміальний) час, якщо P ≠ NP. але завжди повинен бути спосіб "згрупувати" P-екземпляри з "не-P" екземплярів. тому між P та non-P екземплярами також завжди повинні бути деякі "критерії переходу". коротше, можливо, це явище є інтрисично поєднаним з P P NP!

ще один грубий аргумент: всі неповні проблеми NP взаємозамінні за допомогою скорочень. якщо фазовий перехід знайдений в одному, він повинен бути знайдений у всіх.

Більш обґрунтовані докази цього, нещодавно (~ 2010 р.) було показано, що фазовий перехід виявляється для нижчих меж монотонних схем для виявлення клік на випадкових графах.

• Середня складність випадку виявлення кліків / Россман

повне розкриття інформації: Моше Варді вивчав фазові переходи, особливо в SAT, і має протилежне більш скептичне уявлення в цьому розмові / відео.

• Фазові переходи та обчислювальна складність

Візьміть такі графіки, як графіки, це графіки, вибрані рівномірно випадково з колекції всіх графіків, у яких n вузлів і m країв. Цей вид графіка має очікувані ребра- ($G_{n,m}$$n$$m$ м. Фазовий перехід для випадкового графікаGn,mграфіків не є складним для знаходження гамільтонових циклів. Статтяhttp://arxiv.org/pdf/1105.5443.pdf. Фазовий перехід у цій роботі не визначений вище, але вони показують, що існує кореляція між важкими випадками проблеми гамільтонового циклу з гамільтонічністю та негімільтонічністю.$\binom{n}{2}$$m$$G_{n,m}$

Забарвлення D регулярних графіків має ряд дискретних переходів, не особливо поетапних, якщо ви не розтягуєтесь.

Ось таблиця результатів забарвлення, яку я буду подавати до SAT17. Зауважте, що 3 розфарбовування 6 звичайних графіків неможливо, за винятком кількох прикладів. Так само 4 забарвлення графіків десятого ступеня ... Графіки C3D5N180 м'яко важко. Золота точка C4D9 є орієнтовно лише на C4D9N180; Графіки C4D9 - це найскладніший 4cnfs за розміром, з яким я стикався, тому C4D9 кваліфікується як "тверда пляма". Золота точка C5D16 передбачається, що існує, але опиниться в області жорсткої точки від 5 забарвлень до 6 забарвлень.

          Universal Constants of Regular Graph Coloring

Формули забарвлення мають змінні lgC на вершину, для загальної кількості змінних lgC * N; У краях є пункти забарвлення на C, для загальної кількості C * M. Є кілька додаткових пропозицій на вершину, щоб виключити додаткові кольори. Золоті точки є найменшим N таким, що: С пофарбованість на графах D ступеня з N вершинами майже завжди задовольняється, з ймовірністю близькою до 1. Для високої ймовірності, N випадкових випадків були задоволеними. Для дуже високих, N * N були задоволеними. Для Super High випадкові випадки N * N * N були задоволені.

Золотистими точками високої ймовірності (1 - 1 / N) є:

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180? C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

Засоби золотої забарвлення дуже великі (1 - 1 / (N * N)):

C3D5N230? C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

Золоті точки забарвлення "Супервисока ймовірність" (1 - 1 / (N * N * N)):

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72? C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

Усі випадкові випадки дослідження були задоволеними. Лінійні точки ймовірності перевіряли сотні задоволених формул. Квадратичні точки ймовірності перевіряли десятки тисяч задоволених формул. Кубічні точки ймовірності перевіряли сотні тисяч задоволених формул. Точки C4D9 і C5D13 важкі. Точка C5D16 передбачається, що існує. Один п’ять кольорових випадкових випадків шістнадцятого ступеня довів би здогаду.