Розбиття прямокутника без шкоди для внутрішніх прямокутників

$C$ - вісь-паралельний прямокутник.

$C_1,\dots,C_n$ - попарно-роз'єднані між собою осі-паралельні прямокутники, такі, що , як це:$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

Прямокутник , що зберігає розбиття на $C$ розбиття $C = E_1\cup\dots\cup E_N$ , таким чином, що $N\geq n$ , то $E_i$ попарно-салону непересічною осі паралельних прямокутників, і для кожного $i=1,\dots,n$ : $C_i \subseteq E_i$ , тобто кожен існуючий прямокутник міститься в унікальному новому прямокутнику, наприклад:

Що таке алгоритм пошуку перегородки, що зберігає прямокутник, з невеликим $N$ ?

Зокрема, чи існує алгоритм пошуку перегородки, що зберігає прямокутник, з $N=O(n)$ частинами?

НОВИЙ ВІДПОВІДЬ: наступний простий алгоритм є асимптотично оптимальним:

Розтягніть кожен прямокутник довільно, максимально можливою мірою, щоб прямокутники залишалися попарно-неперервними.$C_i$

Кількість отворів становить не більше . Це асимптотично оптимально, оскільки існують конфігурації, в яких кількість отворів принаймні .$k-2$$k-O(\sqrt k)$

Докази є в цій роботі .

СТАРИЙ ВІДПОВІДЬ:

Наступний алгоритм, хоча і не є оптимальним, очевидно, достатній для пошуку перегородки, що зберігає прямокутник, з частинами.$N=O(n)$

Алгоритм працює з прямолінійним многоугольником , який инициализирован в прямокутнику .$P$$C$

Фаза 1: Виберіть прямокутник який примикає до західної межі (тобто немає іншого прямокутника між західною стороною та західною межею ). Місце в і розтягувати його , поки він не торкнеться західна кордону . Нехай (для ) - розтягнута версія . Нехай . Повторіть фазу 1 разів, поки всі$C_i$$P$$C_j$$C_i$$P$$C_i$$P$$P$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i$$P=P\setminus E_i$$n$$n$оригінальні прямокутники розміщуються і розтягуються. На зображенні нижче можливим порядком розміщення прямокутників є :$C_1,C_2,C_4,C_3$

Тепер - прямолінійний багатокутник (можливо, відключений), наприклад:$P$

Я стверджую, що кількість увігнутих вершин у не більше . Це тому, що щоразу, коли розтягнутий прямокутник буде видалено з , є 3 можливості:$P$$2n$$P$

• Додано 2 нові увігнуті вершини (наприклад, при розміщенні );$C_1,C_4$
• 3 нові увігнуті вершини додаються і 1 видаляється (як при );$C_3$
• Додано 4 нові увігнуті вершини та 2 видалено (як, наприклад, ).$C_2$

Фаза 2: Розділ у прямокутні прямокутники з використанням наявного алгоритму (див. Keil 2000, стор. 10-13 та Eppstein 2009, сторінки 3-5 для огляду).$P$

Кейл цитує теорему, яка говорить про те, що кількість прямокутників у мінімальній перегородці обмежено 1 + кількістю увігнутих вершин. Отже, у нашому випадку число становить не більше , а загальна кількість прямокутників у розділі дорівнює .$2n+1$$N\leq 3n+1$

Цей алгоритм не є оптимальним. Наприклад, у наведеному вище прикладі дається тоді як оптимальне рішення має . Тож залишаються два питання:$N=13$$N=5$

А. Чи правильний цей алгоритм?

В. Чи існує поліноміально-часовий алгоритм пошуку оптимального , або, принаймні, кращого наближення?$N$