Новий доказ викачки лем для звичайних мов

Нехай $\mathcal{L}$ - сімейство всіх мов над задовольняє властивості перекачування регулярних мов. А саме: для кожного існує st, кожне слово , може бути записане у вигляді де: 1. , 2. , 3. для всіх .$\Sigma$$L\in\mathcal{L}$$N\in\mathbb{N}$$w\in L$$|w|> N$$w=xyz$$|y|>0$$|xy|\le N$$xy^i z\in L$$i\ge 0$

Це простою вправою [1] довести, що містить однотонні мови , , і закритий під об'єднанням, конкатенацією та зіркою Клінова. Так само добре відомо, що сімейство регулярних мов є найменшим, який містить одинаків і закритий під з'єднанням, конкатенацією та зіркою Клейна. Висновок: звичайні мови задовольняють властивості накачування.$\mathcal{L}$$L=\{\sigma\}$$\sigma\in\Sigma$

Запитання: хтось бачив цей доказ у літературі? [1] Запропонований Д. Берендом.

По суті такий же аргумент висловлює Ендріс П. Дж. Ван дер Уолт (1976, лема 2.3 та приклад 2.9) для варіанта накачувальної леми, де позначено літер і всі три з x , y , z повинні містити позначені літери. Дивіться також Autebert, Boasson, and Cousineau (1978), щоб отримати більше властивостей абстрактних сімей мов, що задовольняють цей варіант накачаної леми.$N$$x$$y$$z$