Як визначити, чи потрібні докази "приводів вищого порядку"?

Питання:

Припустимо, у мене є конкретизація задачі, що складається з аксіом і цілі (тобто пов'язана з цим проблема доказування, чи ціль є задоволеною, враховуючи всі аксіоми). Припустимо також, що проблема не містить ніяких невідповідностей / суперечностей серед аксіом. Чи існує спосіб заздалегідь визначити (тобто, попередньо не побудувавши повний доказ), що для доведення проблеми потрібні "міркування вищого порядку"?

Під "міркуванням вищого порядку" я маю на увазі застосування етапів доказування, які вимагають записати логіку вищого порядку. Типовим прикладом для «міркувань вищого порядку» може бути індукція: Для написання індукційної схеми в принципі потрібно використовувати логіку вищого порядку.

Приклад:

Можна задати доказову задачу "Чи додавання до двох натуральних чисел є комутативним?" використовуючи логіку першого порядку (тобто визначаємо натуральне число за допомогою конструкторів zero / succ разом зі стандартними аксіомами разом з аксіомами, які рекурсивно визначають функцію "плюс"). Доведення цієї проблеми вимагає спонукання до структури або першого, або другого аргументу "плюс" (залежно від точного визначення "плюс"). Чи міг я це знати, перш ніж намагатися довести це, наприклад, проаналізувавши характер вхідної проблеми ...? (Звичайно, це просто простий приклад для ілюстративних цілей - насправді це було б цікавіше для більш складних проблем із підтвердженням, ніж комутативність плюс.)

Ще трохи контексту:

У своєму дослідженні я часто намагаюся застосовувати автоматизовані докази теореми першого порядку, такі як вампір, eprover тощо для вирішення завдань з доведенням (або частин задач на доказ), для деяких з яких може знадобитися міркування вищого порядку. Часто доказчики вимагають досить багато часу, щоб придумати доказ (за умови наявності доказу, який вимагає лише методів міркування першого порядку). Звичайно, намагання застосувати теорему першого порядку доводить проблему, яка потребує міркування вищого порядку, як правило, призводить до таймауту.

Тому мені було цікаво, чи існують якісь методи / методи, які можуть мені заздалегідь сказати, чи потрібна проблема доказування міркувань вищого порядку (мається на увазі "не витрачайте час на те, щоб передати її теоремі першого порядку"). ) чи ні, принаймні, можливо, для певних проблем із введенням.

Я шукав у літературі відповідь на своє запитання і запитав деяких колег-дослідників з області теореми, що підтверджують це - але поки що я не отримав жодної хорошої відповіді. Моє сподівання було б, що є певні дослідження на цю тему від людей, які намагаються поєднати інтерактивну теорему, що підтверджує, і автоматизовану доказ теореми (спільнота Кок? Ізабеллівська спільнота (Кувалда)?) - але поки що я нічого не міг знайти.

Я здогадуюсь, що загалом проблема, яку я окреслив тут, не може бути вирішена (так?). Але, можливо, є добрі відповіді на вишукані версії проблеми ...?

automated-theorem-proving program-verification

— Сильвія Греве
джерело

Те, що ви запитуєте, по суті вирішує, чи дана формула є доказовою (у вашій слабшій системі), що взагалі не можна визначити навіть для такої простої теорії, як Q. Але доказовість насправді не дуже корисна, оскільки більш сильна теорія може скоротити докази теореми a багато. Вирішення, чи має теорема короткий доказ, є NP-повним. Сумніваюсь, є хороша евристика.

— Каве

Арифметика піано має індукцію, а арифметика Пеано є першим порядком (тобто кількісно визначається лише над особинами). Те саме для ZFC. Цитую Мартина Девіса: "Логіка вищого порядку - це лише помітні варіанти теорій множин, формалізованих в логіці першого порядку, питання про використання формалізмів вищого порядку в доказуванні механічних теорем - просто питання про те, пропонують такі формалізми чи ні. корисні алгоритми ".

— Мартін Бергер

@MartinBerger Я думаю, що для цього питання схеми аксіом вважаються "прийомами міркувань вищого порядку"

— fread2281

@ fread2281 Корисно бути обережним з термінологією. Існують теорії множин, які мають кінцеву аксіоматизацію (наприклад, теорія множин Неймана – Бернайса – Геделя, яка є консервативним продовженням ZFC). На відміну від аксіомних схем ZFC не можна виразити кінцевою кількістю аксіом. Я думаю, але зараз не впевнений, що схемам аксіом не потрібна вся потужність теорії множин чи логіки вищого порядку.

— Мартін Бергер

Коротко кажучи, кожна теорема, викладена в логіці першого порядку, має доказ першого порядку.

У своїй книзі «Вступ до математичної теорії та теорії типів» Пітер Б. Ендрюс розробляє як логіку першого порядку, так і систему логіки вищого порядку Q ₀ , яка, як правило, вважається основою теорії сучасних доказів вищого порядку . (Дивіться, наприклад, вступ до логіки HOL.)

Для Q ₀ та подібних систем Ендрюс показує, що логіку вищого порядку, яку він описує, можна вважати консервативними розширеннями логіки першого порядку і пише (друге видання, стор. 259), що: "Підсумовуючи кожну теорему першого порядку Теорія типу має докази першого порядку ".

Враховуючи ваші практичні проблеми, я також цитую наступний параграф:

"Однак деякі теореми логіки першого порядку можна довести найефективніше, використовуючи поняття, які можна виразити лише логікою вищого порядку. Приклади можна знайти у [Andrews and Bishop, 1996] та [Boolos, 1998, глава 25] Статман довів [Statman, 1978, пропозиція 6.3.5], що мінімальна довжина доказу в логіці першого порядку логіки wff першого порядку може бути надзвичайно довшою, ніж мінімальна довжина доказу того ж wff у Логіка другого порядку. Пов'язаний результат Годеля [Годель, 1936 р.) полягає в тому, що в цілому "перехід до логіки наступного вищого порядку має наслідком не лише винесення певних пропозицій, які раніше не були доказовими, але й висловлення можна скоротити надзвичайною сумою нескінченну кількість наявних доказів ". Повний доказ цього можна знайти в [Buss,1994 р.] ».

— Крис П
джерело