"Переповнення" в розширеному евклідовому алгоритмі

Вибачте, якщо я помиляюся з місцем, щоб задати питання (можливо, я повинен зайти на stackoverflow.com/mathoverflow.net?).

Цікаво, чи є докази того, що при оцінці розширеного евклідового алгоритму коефіцієнти Безута (тобто s і t в тотожності як + bt = gcd ( a , b )) не перевищуватимуть певних розумних значень (залежно від a, b, я думаю ). Зокрема, на мові програмування загального призначення я зацікавлений у правильності переповнення програми.

Якщо бути точним, можу зазначити, що я використовую опис алгоритму Віктора Шоупа (4.2 в його книзі « Обчислювальний вступ до теорії чисел та алгебри », вільно доступний на його домашній сторінці).

Це називається тотожністю / леммою Безута (не плутати з теоремою Безута про алгебраїчну геометрію), яка говорить:

Лема Для кожного числа , для деяких цілих чисел . Крім того, ми можемо припуститита.$a,b \neq 0$$\gcd(a,b) = ax + by$$x,y$$|x| \leq |b|$$|y| \leq |a|$

Докази можуть бути засновані в стандартних підручниках з алгебри. Також ви можете довести це самостійно, індукуючи на ітераціях gcd процесу.

Взагалі це справедливо у кожній евклідовій області з мультиплікативною евклідовою функцією . У випадку, коли , маємощо є мультиплікативним.$R$$f$$R = \mathbf{Z}$$f(x) = |x|$