Недетермінований прискорення детермінованих обчислень

Чи може недетермінізм прискорити детерміновані обчислення? Якщо так, то скільки?

Під прискоренням детермінованих обчислень недетермінізмом я маю на увазі результати форми:

$\mathsf{DTime}(f(n)) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

Наприклад, щось подібне

$\mathsf{DTime}(n^2) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

Який найвідоміший результат прискорення детермінованих обчислень недетермінізмом? Що щодо $\mathsf{\Sigma^P_kTime}(n)$ або навіть $\mathsf{ATime}(n)$ замість $\mathsf{NTime}(n)$ ?

Припустимо, що класи складності визначаються за допомогою багато стрічкових машин Тьюрінга, щоб уникнути добре відомих особливостей підквадратичних одночасних машин Тюрінга.

Не варто сподіватися на захоплюючу швидкість. Ми маємо

а найвідомішим моделюванням детермінованого часу простором є теорема Хопкрофта – Пола – Валента

Таким чином, невідомо, що недетермінізм чи чергування дають прискорення більш ніж логарифмічного коефіцієнта. (Я підозрюю, що також не відома суперлінійна швидкість прискорення, хоча я не впевнений, що теорема HPV не може бути змушена працювати з ATIME замість DSPACE.)

Існує два різних поняття:

(1) Ефективне моделювання детермінованих машин недетермінованими машинами.

(2) Прискорення результатів, які отримуються шляхом застосування моделювання знову і знову.

Я не знаю жодного ефективного моделювання детермінованих машин недетермінованими, але я знаю кілька результатів прискорення, які можуть бути використані, якщо існують ефективні симуляції.

Розглянемо клас мов, які можна визначити недетермінованою машиною Тьюрінга, що працює протягом t ( n ) часу, використовуючи лише g ( n ) недетерміновані здогадки. Іншими словами, довжина свідка обмежена g ( n ) .$NTIGU(t(n), g(n))$$t(n)$$g(n)$$g(n)$

Якщо у вас є більш ефективне моделювання, використовуючи лише $\log(n)$ недетерміновані здогадки , то я вважаю, що ви можете його трохи прискорити. Зокрема, я вважаю, що ви можете довести наступне:

Якщо , то D T I M E ( 2 $DTIME(n \log(n)) \subseteq NTIGU(n, \log(n))$.$DTIME(2^{\sqrt{n}}) \subseteq NTIME(n)$

Якщо вам це здається цікавим, я можу написати доказ.

Райан Вільямс представив деякі пов'язані з цим прискорення у "Поліпшенні вичерпних пошукових значень суперполіноміальних нижніх меж".

Ось пояснення, чому загальне квартичне недетерміноване прискорення детермінованих обчислень, навіть якщо це правда, важко довести:

Припустимо, що має місце загальна квартова недетермінована прискорення детермінованих обчислень, таких як . Для суперечності припустимо, що S A T ∈ D T i m e ( o ( n 2 / lg n ) ) . Від N T i m e ( n ) існує квадратичне скорочення часу $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$$\mathsf{SAT} \in \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$$\mathsf{NTime}(n)$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{DTime}(o(n^4/\lg n))$

$\mathsf{SAT}$

$\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$

Тому доведення загальної квадратичної недетермінованої прискорення детермінованих обчислень є щонайменше настільки ж важким, як і доведення майже квадратичної нижньої межі на $\mathsf{SAT}$.

Аналогічно для будь-якої добре поводиться функції $f(n)$:

$\mathsf{DTime}(f(n^2)) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(f(n)/\lg n))$.

(If in place of $\mathsf{SAT}$ we pick a problem which is hard for $\mathsf{NTime}(n)$ under linear-time reductions then this would give $f(n)/\lg n$ lower bound for that problem. If we fix the number of the machine tapes to some $k\geq 2$ then we can use Fürer's time hierarchy theorem which does not have the $\lg n$ factor.)