Найменша вікончаста лінія, що містить

Введення: Набір точок у , а ціле число . $n$ $\mathbb{R}^3$ $k \le n$

Вихід: Найменший об'ємний вікон, що обмежує обсяг, що містить принаймні цих точок $k$ $n$

Мені цікаво, чи відомі якісь алгоритми цієї проблеми. Найкращим, про що я міг придумати, був час , таким чином: груба сила над усіма можливими верхніми та нижніми межами для двох з трьох вимірів; для кожної з цих можливостей ми можемо вирішити відповідну мірну версію задачі за час, використовуючи алгоритм розсувного вікна. $O(n^5)$ $O(n^4)$ $1$ $O(n)$

cg.comp-geom

— GMB
джерело

Чи не можемо ми обчислити таблицю розміром

для кількості точок

? Обчислення кількості точок і обсягу може бути виконано за допомогою const кількості операцій, і ми можемо використовувати динамічне програмування з таблицею розміром

і повинні мати можливість отримати алгоритм

n^{3}

$n^3$

p

$p$

p . x < x, p . y < y, p . z < z

$p.x< x, p.y<y, p.z <z$

k n^{3}

$k n^3$

O (k n^{3})

$O(kn^3)$

— Каве

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

n^{5}

$n^5$

n^{6}

$n^6$

n^{5}

$n^5$

(1 - ϵ) k

$(1-\epsilon)k$

k

$k$

O (((n / k) / ϵ^{2} \log n)^{O (1)})

$O( ((n/k)/\epsilon^2 \log n)^{O(1)})$

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

$n$ $O(n^3)$

$1/k$ $n/k$ $O((n/k)^3)$ $R$ $O(k^6 \log n)$ разів. З великою часткою ймовірності одне з випробуваних ящиків - це бажаний ящик.

$O((n/k)^3 * k^6 * polylog n) = O(n^3 k^3 \log^{O(1)} n )$

$\frac{1}{k^6} ( 1-1/k)^{k-6} \approx 1/k^6 = p$ $O( (1/p) \log n)$

$\Theta(n^3)$

$O(n^3 \log^2 n)$

— Саріель Хар-Пелед
джерело

k = Θ (n)

$k = \Theta(n)$

O (n^{3} k^{3})

$O(n^3 k^3)$

O (n^{6})

$O(n^6)$

k

$k$