ALogTime! = PH важко довести (і невідомо)?

Нещодавно Lance Fortnow стверджував, що довести L! = NP повинно бути простіше, ніж довести P! = NP :

Відокремлюємо НП від логарифмічного простору. Я дав чотири підходи в передблогєвому опитуванні 2001 р. Про діагоналізацію (Розділ 3), хоча жоден не вичерпувався. Повинно бути набагато простіше, ніж відокремлювати P від NP.

Розділ 3 у зв'язаному опитуванні стверджує, що немає значущих результатів краху оракул:

Хоча питання P! = NP залишається досить грізним, питання L! = NP здається набагато більш зрозумілим. У нас немає підстав вважати це питання складним. Відсутність хороших моделей релятивізації для космосу означає, що ми не маємо осмисленої оракул-моделі, де L та NP руйнуються. Оскільки L є рівномірним класом, обмеження Razborov-Rudich [RR97] не застосовуються.

На питання про відомі бар'єри релятивізації для L! = NP на цьому веб-сайті отримано відповідь, вказуючи на те, що проблема TQBF, завершена PSPACE, може бути використана як Oracle для отримання такого колапсу. Заперечення щодо того, чи це була змістовна модель оракулу, схоже, також є відповіді.

Але навіть якби я зрозумів, чому «у нас немає змістовної моделі оракула, де L та NP крах» слід вважати правильним твердженням, у мене все одно будуть сумніватися, чи доведення L! = NP є більш можливим, ніж доведення P! = НП. Якщо доведення L! = NP дійсно має бути простішим, ніж доведення P! = NP, то доведення ALogTime! = PH, безумовно, повинно бути в межах досяжності. (Стаття опитування натякає на можливість відокремити від ) Я думаю, ALogTime! = PH все ще відкритий, і я хотів би знати, чи є вагомі причини, щоб очікувати, що це буде важко довести. $\Sigma_2^p$ $L$

cc.complexity-theory reductions relativization

— Томас Клімпель
джерело

Lance Fortnow 7:03, 13 травня 2016 : "Дозвольте перефразувати свою точку зору. Нехай AP буде чергувати політайм (відомий як PSPACE нереалізований і, таким чином, відрізняється від L). Тоді не існує відомої моделі релятивізації, яка обох робить L = NP для деяких оракул, але відокремлює L від AP для всіх оракул ".

— Томас Клімпель

Відповіді:

Не впевнений, чому Fortnow каже, що "немає жодної значущої моделі, де і руйнуються" ... мені здається, що QBF повинен змусити їх згортатися за звичайною моделлю оракул Ruzzo-Simon-Tompa (і включене вами посилання) погоджується. Зверніть увагу, що ця модель оракула також має свої примхи: у нас тоді і тільки тоді, коли для кожного оракула , тому будь-який оракул, який є свідком розлуки, буде означати нереалізований поділ. $L$ $NP$ $L = NL$ $L^A = NL^A$ $A$

ALogTime = LOGTIME-Уніфікована . Так так, відкрито. Існує релятивізоване поняття єдиного , і ви можете згортати і під цим поняттям. Дивіться теорему 6 на http://link.springer.com/article/10.1007/BF01692056 . (Застереження: технічно кажучи, цей документ розглядає єдиний NC1, який є LOGSPACE, але я вважаю, що певна версія розумної версії цієї конструкції оракул повинна працювати в єдиній обстановці LOGTIME.) $NC1$ $ALogTime = NP$ $NC1$ $NP$ $NC1$

Крім того, я не знаю жодної конкретної причини вважати, що це "важко довести", окрім спостереження, яке намагалися багато людей, і жодного ще не вдалося.

— Райан Вільямс
джерело

Трохи не пов’язані між собою: Чи можете ви трохи розібратися у твердженні: " iff для кожного "? Я не розумію твердження у питанні, що "бар'єр не застосовується, оскільки - це єдиний клас". Спасибі!

L = N L

$L = NL$

L^{A} = N L^{A}

$L^A = NL^A$

A

$A$

L

$L$

— Michaël Cadilhac

Я вважаю, що у документі, який я пов'язав, є доказ цього твердження. Стосовно вашого другого речення: Ви запитуєте, чому Fortnow каже, що Razborov-Rudich не застосовується? Якщо так, його суть полягає в тому, що бар'єр із природних доказів, як це прийнято розуміти, застосовується лише в тому випадку, якщо модель, щодо якої ви обмежуєтесь, є неоднаковою, наприклад, P / poly.

— Райан Вільямс

Ах, я неправильно прочитав: я вважав, що бар'єр, який не застосовується, - це релятивізація, а не природні докази, вибачте. Мені хотілося запитати: чому релятивізація є бар'єром для П проти НП, але морально не Л проти НЛ? (Звідси незв’язаність питання.)

— Michaël Cadilhac

Одним словом, це тому, що модель RST oracle не дозволяє вам робити недетерміновані кроки, якщо стрічка oracle не порожня. (Причини цього тонкі; в основному деякі результати не будуть релятивізуватися без нього.) Фактичний аргумент є складнішим ...

— Ryan Williams

Наївна ідея доведення ALogTime! = PH: Проблема значення булевої формули є повною для ALogTime при детермінованих скороченнях часу журналу . Отже, якщо ALogTime = PH, то PH = coNP = ALogTime, а значить, проблема значення булевої формули буде повною при детермінованих скороченнях часу журналу для coNP. Отже, відбудеться детерміноване скорочення часу журналу від задачі тавтології до задачі значення булевої формули.

Детерміновані скорочення часу журналу повинні бути нешкідливими, вони не можуть багато сприяти вирішенню проблеми тавтології. Вони є лише приємною формалізацією, що означає, що скорочення може працювати лише дуже локально. Отже, решта завдань полягає в тому, щоб зрозуміти, чому проблема тавтології не може бути перетворена на булеву задачу значення формули дуже локальними скороченнями. Я досі не бачу, як це зробити, але принаймні решта завдань дуже зрозуміла, щоб у мене був хоча б шанс зрозуміти, чому це важко (чи ні).

— Томас Клімпель
джерело