Параметризована складність від P до NP-жорсткого і знову

Я шукаю приклади задач, параметризованих числом $k \in \mathbb{N}$ , де твердість задачі немонотонна в $k$ . Більшість проблем (на мій досвід) мають однофазний перехід, наприклад, $k$ -SAT має однофазний перехід від $k \in \{1,2\}$ (де проблема знаходиться в P) до $k \ge 3$ (де проблема NP- повна). Мене цікавлять проблеми, коли є фазові переходи в обох напрямках (від легкого до жорсткого та навпаки), оскільки $k$ збільшується.

Моє запитання дещо схоже на питання, задане в « Hardness Jumps» в обчислювальній складності , і насправді деякі відповіді там є відповідні на моє запитання.

Я знаю приклади:

1. $k$ -кольорова здатність планарних графів: В P, за винятком випадків, коли$k=3$ , де вона повна NP.
2. Дерево Штейнера з $k$ терміналами: В P, коли $k=2$ (згортається на найкоротший $s$ - $t$ шлях) і коли $k=n$ (руйнується до MST), але NP-жорсткий "між". Я не знаю, чи різкі ці фазові переходи (наприклад, P для $k_0$ але NP-жорсткі для $k_0+1$ ). Також переходи $k$ залежать від розміру вхідного екземпляра, на відміну від моїх інших прикладів.
3. Підрахунок, що задовольняє призначення планарної формули за модулем $n$ : В P, коли $n$ - просте число Мерсена $n=2^k-1$ , а # P - повне для більшості (?) / Всіх інших значень $n$ (від Аарона Стерлінга в цій нитці ) . Багато фазових переходів!
4. Індуковане виявлення підграфів: проблема не параметризована цілим числом, а графіком. Існують графіки (де ⊆ позначає певний вид підграфного відношення), для якого визначають, чи H i ⊆ G для даного графа G знаходиться в P для i ∈ { 1 , 3 }, але NP- повна для i = 2 . (від Сісен-Чі Чанг у тій самій нитці ).$H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$$\subseteq$$H_i \subseteq G$$G$$i\in \{1,3\}$$i=2$

Одне поле з великою кількістю монотонності складності проблеми - тестування властивостей. Нехай - сукупність усіх n -вершинних графіків, а P ⊆ G n - властивість графа. Загальна проблема полягає в тому, щоб визначити, чи має графік G властивість P (тобто G ∈ P ), або " в деякому сенсі далеко" від властивості P. Залежно від того, що таке P , і який тип запиту ви маєте до графіка, проблема може бути досить складною.$\mathcal{G}_n$$n$$P \subseteq \mathcal{G}_n$$G$$P$$G \in P$$P$$P$

Але легко помітити, що проблема не є одноманітною, оскільки, якщо ми маємо , той факт, що P легко перевіряється, не означає, що S легко перевіряється, або що T є. $S \subset P \subset T$$P$$S$$T$

Щоб побачити це, достатньо помітити, що і P = tri обидва тривіально перевіряються, але для деяких властивостей існують сильні нижні межі.$P = \mathcal{G}_n$$P = \emptyset$

Для даного графа і ціле число K ≥ 1 , в K -й потужності G , позначимо через G до , має ту ж саму вершину встановити таким чином, що дві різні вершини суміжні в G до , якщо їх відстань в G не перевищує до . Задача k- ї потужності розділеного графа запитує, чи заданий графік є k -й потужністю розділеного графа.$G$$k\ge 1$$k$$G$$G^k$$G^k$$G$$k$$k$$k$

• При задача, розв'язувана в лінійному часі. Це пояснюється тим, що розпізнавання графіків розбиття дозволено за лінійним часом (добре відомо).$k=1$
• Для задача є NP-повною. Це доводить Лау та Корнейлом у визнанні сил правильного інтервалу, розщеплення та хордального графіка , SIAM J. Discrete Math., 18 (2004), 83-102 .$k=2$
• Для проблема тривіальна: лише повні графіки є k -ми потужностями розщепленого графа.$k\ge 3$$k$

$\Delta$$\Delta=2$$\Delta\geqslant 7$$3\leqslant\Delta\leqslant 6$

Пов'язане питання обговорюється тут .

Визначення, чи має графік домінуючий клік для:$G$

• $diam(G)=1$ є тривіальним - відповідь завжди "так"
• $diam(G)=2$ повна NP
• $diam(G)=3$ повна NP
• $diam(G)\ge 4$ є тривіальним - відповідь завжди "ні"

Діаметр справи обумовлений Брандштадтом і Кратчем , а випадок " відзначений у недавньому моєму документі .$diam(G)=3$$diam(G)=2$

Це приклад явища, яке ви шукаєте?

Розглянемо проблему k-Clique, де k - розмір кліки, яку ми шукаємо. Отже, проблема полягає в тому, "чи існує графіка розміру k у графі G на n вершинах?"

Для всіх констант k проблема в П. (алгоритм грубої сили працює в часі .) Для великих значень k, наприклад значень, таких як n / 2, це NP-повна. Коли k стає дуже близьким до n, як nc для деякої постійної c, проблема знову в P, тому що ми можемо шукати всі підмножини n вершин розміру nc і перевіряти, чи утворює хтось із них кліку. (Є лише таких підмножин, які є поліноміально великими, коли c є постійною.)$O(n^k)$$O(n^c)$

Ось приклад, який може бути типу, який ви шукаєте. Параметр не є цілим числом, це пара чисел. (Хоча одну з них можна виправити, щоб зробити її проблемою одного параметра.)

Проблема полягає в оцінці полінома Тутта графа G за координатами (x, y). Ми можемо обмежити координати цілими числами. Задача полягає в P, якщо (x, y) є однією з точок (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0) або задовольняє (x-1 ) (у-1) = 1. Інакше це # P-важко.

Це я отримав із статті Вікіпедії про поліном Тутте .

Що з питанням обчислення постійної матриці модуля ? Для це легко (оскільки постійний = визначальний), а Валіант (у " Складність обчислення постійного ") показав, що його можна обчислити по модулю за час для за модифікованим варіантом усунення Гаусса. Але для що не є потужністю , це UP-Hard. $k$$k=2$$2^d$$O(n^{4d-3})$$d \geq 2$$k$$2$

Ще одна проблема цього явища - це проблема MINIMUM -SPANNER на розділених графіках.$t$

При постійна , А -spanner зв'язкового графа є зв'язковим остовне подграфом з таких , що для кожної пари вершин і , то відстань між і в не перевищує раз їх відстань в . Проблема MINIMUM -SPANNER запитує -spanner з мінімальною кількістю ребер даного графіка.$t$$t$$G$$H$$G$$x$$y$$x$$y$$H$$t$$G$$t$$t$

Спліт графік являє собою графік , у якого безліч вершин можна розбити на кліки і незалежне безліч.

У цій роботі було показано, що МІНІМУМ 2-SPANNER на розділених графах є NP-жорстким, тоді як для кожного , MINIMUM -SPANNER легко на розділених графах.$t \ge 3$$t$

Добре відомий приклад - забарвлення -edge.$k$

Він може бути вирішеним у поліноміальний час, якщо інакше він є незавершеним .$k \ne \Delta$$NP$

Для кубічних графіків, вирішуючи наявність фарбування краю, використовуйте:

• $k=2$ кольори тривіально, оскільки відповідь завжди "ні".
• $k=3$ кольори - -повне$NP$
• $k \ge 4$ кольори тривіально, оскільки відповідь завжди так.

Holyer, Ian (1981), "NP-повнота фарбування краю", журнал SIAM on Computing 10: 718–720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

Це цікавий (і дивний) приклад для фазового переходу P NP-hard P NP-hard :$\to$$\to$$\to$$\to \cdots$

Вирішивши, чи повний графік на вершинах, у яких кожна вершина має суворий рейтинг всіх інших вершин, допускає, що популярне співпадіння є в P для непарних а NP-жорстких для парних . (Параметр - номер вершини .)$n$$n$$n$$n$

Доказ оголошений у цій роботі .

$k$$k$

$G$$k=1$$G$$\sf NP$$k \in \{2,3\}$$\sf P$$k$

Дивіться Chandran, L. Sunil, Deepak Rajendraprasad та Marek Tesař. "Розмальовка веселкою розділених графіків." переддрук arXiv arXiv: 1404.4478 (2014).

$U\subseteq V(G)$$G$$G[U]$$G-U$

Вирішити, чи має графік діаметром 1 відключений виріз, тривіальне. Проблема стає NP-жорсткою на графіках діаметром 2 див. Цей документ і знову легко на графіках діаметром принаймні 3 див .