Чи є чітко визначена операція поділу на кінцевих автоматах?

Фон:

Враховуючи два детерміновані кінцеві автомати A і B, ми формуємо добуток C, дозволяючи станам в C бути декартовим продуктом станів в A, а станів у В. Тоді ми вибираємо переходи, початковий стан і кінцевий стан, так що мова, прийнята C - перетин мов для A і B.

Запитання:

(1) Чи можемо ми «розділити» C на B, щоб знайти A? Чи навіть унікальний, аж до ізоморфізму? Ми дбаємо про діаграми стану, а не про мови тут і нижче. Таким чином, ми не дозволяємо стискати діаграми стану, щоб зменшити кількість станів.

(2) Якщо A унікальний, чи існує ефективний алгоритм його пошуку?

(3) Чи має кожен детермінований кінцевий автомат унікальну факторизацію на "праймери". Прем'єр тут означає автомат, який неможливо врахувати, тобто записаний як добуток двох менших автоматів.

Робота з @MichaelWehar

fl.formal-languages automata-theory dfa

— Whosyourjay
джерело

Класична декомпозиція - це теорія Крона-Родоса - багато на що подивитися.

Розглянемо похідні Бржозовського. en.wikipedia.org/wiki/Brzozowski_derivative

— Vijay D

@halfTrucker Теорія Крона-Родоса стосується виробів із вінка. ОП запитує про декартовий продукт.

— scaaahu

Дякую @halfTrucker, це справді цікаво! Як каже scaaahu, я шукаю декартовий продукт, але ваш довідник все ще великий.

— Whosyourjay

Відповіді:

Погляньте на цю статтю MFCS 2013 , яка вивчає композицію в автоматах. Можливо, це допоможе.

— Шаул
джерело

+1 для посилання. Цитуючи з обговорення статті, Хоча загальний випадок все ще відкритий , схоже, що стаття досліджує лише випадок перестановочних автоматів. Чи є новітні розробки для загальних випадків? Я маю на увазі в розумінні декартовий продукт? (Теорія Крона-Родоса стосується виробів із вінка) Спасибі.

— scaaahu

Я не знаю жодних останніх подій. Я можу вам сказати, що прямої подальшої роботи з цим документом не було. Але це може послужити свідченням того, що проблема справді непроста.

— Шоул

Надамо кілька очевидних способів відновити один «фактор» автоматичного продукту. Якщо і позначає автоматику виробу, то якщо ми визначимо тобто просто забувши про $\mathcal A_i = (Q_i, \delta_i, q_{0i}, F_i), i = 1,2$ $\mathcal A = \mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

π_{1} ((q, q^{'})) := q

$\pi_1( (q, q') ) := q$

A_{2}

$\mathcal A_2$ або проектуючи на другий компонент, ми маємо

, також якщо ми хочемо знати, що

виділимо деяку

і обчислимо в автоматиці виробу

Q_{1} = π (Q_{1} \times Q_{2})

$Q_1 = \pi(Q_1\times Q_2)$

δ_{1} (q, x)

$\delta_1(q,x)$

q^{'} \in Q_{2}

$q' \in Q_2$

π ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x)

$\pi((\delta_1(q,x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x)$ , отже, ми також можемо відновити перехід у

A_{1}

$\mathcal A_1$

Отже, якщо ми знаємо, що автомат - декартовий (або зовнішній) автоматичний продукт, ми можемо легко відновити фактори.

Але я думаю, це не те, що ви маєте на увазі щодо інших ваших питань. Тут виникають два питання (під наступним ізоморфізмом автомата я маю на увазі ізоморфний як графік стану, тобто без поваги до початкових або кінцевих станів, як ви сказали, мова тут не стільки турбує):

А_{1} \times \dots \times А_{к} ≅ Б_{1} \times \dots \times Б_{л}

$\mathcal A_1 \times \ldots \times \mathcal A_k \cong \mathcal B_1 \times \ldots \times \mathcal B_l$

A_{i}, B_{j}

$\mathcal A_i, \mathcal B_j$

k = l

$k = l$

A_{i} ≅ B_{π (i)}

$\mathcal A_i \cong \mathcal B_{\pi(i)}$

π : {1, \dots k} \to {1, \dots k}

$\pi : \{1,\ldots k \}\to \{1,\ldots k \}$

$\mathcal A, \mathcal B$ $\mathcal C$ $\mathcal A = \mathcal B \times \mathcal C$ .

Неважко встановити необхідні умови для цього, але я не бачу легких достатніх критеріїв для того, щоб якийсь автомат був фактором іншого.

Але давайте трохи узагальнимо наш початковий приклад, зауважимо це

π_{1} ((δ_{1} (q, х), δ_{2} (q^{'}, х)) = δ_{1} (q, х) = δ_{1} (π_{1} (q, q^{'}), х)

$\pi_1( (\delta_1(q, x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x) = \delta_1(\pi_1(q,q'), x)$ для усіх

q \in Q_{1}, q^{'} \in Q_{2}

$q \in Q_1, q' \in Q_2$ і отже

π

$\pi$ - це гомоморфізм стану графа стану

A_{1} \times A_{2}

$\mathcal A_1 \times \mathcal A_2$ на

A_{2}

$\mathcal A_2$ . Отже, ми визначаємо:

Автомат $\mathcal A$ ділить автомат $\mathcal B$ якщо існує гомоморфізм граф стану $\mathcal B$ на $\mathcal A$ .

Дійсно цікавим стає це поняття, якщо розглядати перехідні моноїди автоматів, то це визначення еквівалентне тому, що існує сюжективний гомоморфізм з перехідної моноїди $\mathcal B$ до цього $\mathcal A$ .

Більш загально, ми говоримо, що моноїд $M$ ділить моноїд $N$ якщо $M$ це зображення деякого морфізму з підмоноїда о $N$ . І це поняття широко використовується, і з огляду на співвідношення між DEA та кінцевими моноїдами, тісно пов’язане з вами, питання про розкладання автоматів. Якщо ви хочете дізнатися більше, ознайомтеся з цими ресурсами:

Х. Штраубінг, П. Вайль Вступ до кінцевих автоматів та їх зв’язок з логікою,

Веб-сайт курсу з великою кількістю інформації.

Зауваження : Існує також інше поняття " коефіцієнт ", див. Вікіпедія: автоматичний коефіцієнт , але це лише правило для руйнуються станів і використовується в алгоритмах виведення мови / мовлення або мінімізації стану.

— СтефанХ
джерело