Знаходження найбільшого набору точок обмеженого діаметра

З огляду на точки $p_1,\ldots,p_n$ у і відстань знаходимо найбільшу підмножину цих точок такою, що евклідова відстань двох з них не перевищує . $\mathbb{R}^{d}$ $l$ $l$

У чому полягає складність цієї проблеми?

У графіку над точками, які мають ребро, коли відстань двох точок становить не більше , проблема еквівалентна пошуку максимальної кліки. Зворотне може не дотримуватися, тому що не кожен графік може бути отриманий таким чином (приклад - зірка для ). Тому пов'язане питання: що відомо про цей клас графіків? $l$ $K_{1,7}$ $d=2$

ds.algorithms reference-request cg.comp-geom

— Маркус Рітт
джерело

Зауважте, що якщо

зафіксовано, існує "тривіальний" P-часовий алгоритм: оскільки такий набір укладений в кулю радіусом

, і без втрати загальності куля мінімальна (тобто торкається

балів), просто перерахуйте по всіх підмножинах. Можна зробити і краще, але з точки зору складності проблема "легка".

d

$d$

l / 2

$l/2$

d + 1

$d+1$

— Суреш Венкат

Я не думаю, що це правда, що оптимальна множина обов'язково міститься в кулі радіусом l / 2. Наприклад, у площині три вершини рівностороннього трикутника довжиною сторони l не так укладені.

— Девід Еппштейн

ах правда. але перерахування має працювати незалежно.

— Суреш Венкат

Ви можете перерахувати підмножини всередині кульок, але якщо ви зробите радіус l / 2, ви не знайдете деяких підмножин малого діаметра, і якщо ви зробите радіус вище, ніж тоді, то не очевидно, як обрізати підмножини так, щоб вони мають низький діаметр.

— Девід Еппштейн

чому я не можу перерахувати підмножини, знайти хв, що додається, і обчислити кардинальність всередині кожного?

— Суреш Венкат

Відповіді:

У моєму документі з Джеффом Еріксоном є "алгоритм часу для двовимірної версії цієї проблеми, " Ітерація найближчих сусідів і знаходження мінімальних політопів ", Disc. Склад. Геом. 11: 321-350, 1994. Насправді в роботі в першу чергу розглядається подвійна проблема: враховуючи кількість точок у підмножині, знайдіть найменший можливий діаметр; але він використовує проблему, яку ви описуєте, як підпрограму. Принаймні в той час, коли ми це писали, ми не знали нічого субекспоненціального для більш високих розмірів (хоча, якщо підмножина має лише точок у ньому, експоненціальна частина може стати залежною від а не $O(n^3\log n)$ $k$ $k$ $n$ з використанням прийомів у тій самій роботі).

— Девід Еппштейн
джерело

Наближення досить легко, якщо вас цікавить найменша підмножина діаметром не більше . Лінійний алгоритм часу за допомогою сіток на сьогоднішній день є "стандартним". Константа, ймовірно, буде щось на зразок . $(1+\epsilon)l$ $2^{O(1/\epsilon^d)}$

Існує деяка робота з пошуку найменшої кульки, що містить k точок, але проблема діаметра по суті важче. Щоб зрозуміти, чому, гарною відправною точкою є папір Кларксона-Шор для обчислення діаметра в 3d.

До речі, для великих розмірів проблема з кулькою є приблизною за експоненціалом часу в (або якийсь подібний шум), використовуючи базові набори (але не в розмірності!). Я певно сумніваюся, що такий підхід можна поширити на цю проблему, але я можу помилятися. $O(1/\epsilon^2)$

— Саріель Хар-Пелед
джерело