P / Poly проти класів рівномірної складності

Невідомо, чи міститься NEXP в P / poly. Дійсно, що доведення, що NEXP не знаходиться в P / poly, мало б застосування в дерандомізації.

1. Який найменший рівномірний клас C, для якого можна довести, що C не міститься в P / poly?

2. Чи показало б, що показник того, що co-NEXP не міститься у P / poly, має деякі інші теоретичні наслідки складності, як у випадку NEXP проти P / poly?

Примітка: мені відомо, що як відомо, не міститься у для кожної фіксованої константи$SP_2$$Size[n^k]$$k$(Це було також показано для MA з 1 бітом порад). Але в цьому питанні мене не цікавлять результати для виправлених$k$. Мені дуже цікаві класи, які відрізняються від P / Poly, навіть якщо ці класи дуже великі.

$\let\mr\mathrm$У літературі є декілька результатів, в яких зазначається, що певний клас задовольняє для будь-якого , і зазвичай просто простежити їх, щоб показати, що будь-яка ледве суперполіномічно розширена версія є не в .$C$$C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$$k$$C$$\mr{P/poly}$

Дозвольте сказати, що - це суперполіномічна зв'язок, якщо вона може бути сконструйована часом, і . Наприклад, є суперполіномічною зв'язаною. Насправді, повчальна вправа показує, що якщо - будь-яка необмежена монотонна обчислювальна функція, то існує суперполіномічна пов'язана така, що .$f\colon\mathbb N\to\mathbb N$$f(n)=n^{\omega(1)}$$n^{\log\log\log\log n}$$g(n)$$f$$f(n)\le n^{g(n)}$

По-перше, пряма діагоналізація показує, що для будь-якого . Цей же аргумент дає:$\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$$k$

• Якщо - будь-яка суперполіномічна зв'язок, то .$f$$\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

  Ескіз доказування: Для будь-якого , нехай є першою лексикографічно схемою розміру яка обчислює булева функція в змінних, які не можна обчислити схемою розміру . Тоді мова визначена працює.$n$$C_n$$2f(n)$$n$$<f(n)$$L$$x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

Відоме вдосконалення стверджує, що для будь-якого . Так само,$S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$$k$

• Якщо - будь-яка суперполіномічна пов'язана, то .$f$$S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

  Доказ ескізу: Якщо немає, то , зокрема , отже . За аргументом прокладки, , quod non .$\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$$\mr{PH}=S_2\mr P$$\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$

Очевидні заняття роблять ще краще. Враховуючи заперечення , нехай . Тоді для будь-якого , і такий же аргумент дає:$\mr{NLin=NTIME}(n)$$\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$$k$

• Якщо - будь-яка суперполіномічна зв'язок, то .$f$$\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

  Доказ ескізу: якщо , а потім за допомогою заповнення, , що означає . Потім ми продовжуємо, як і раніше.$\mr{NLin\subseteq P/poly}$$\mr{NP\subseteq P/poly}$$\mr{PH}=O_2\mr P$

Також є результати за участю МА. Часто згадуваний результат, що є надлишком. Сантанам довів для будь-якого , і подібний аргумент дає:$\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

$$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$$ $k$

• Якщо - будь-яка суперполіномічна зв'язана, то $f$

  $$\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$$

  Ескіз доказу: За лемою 11 Сантанама (що є загостреною версією стандартного факту, що з PSPACE-доказом), існує мова PSPACE-повна та рандомізований багаторазовий оракул TM таким, що на вході , задає лише запити oracle довжиною; якщо , то приймає з ймовірністю ; і якщо , то для будь-якого оракула , приймає з ймовірністю .$\mr{PSPACE=IP}$$L$$M$$x$$M$$|x|$$x\in L$$M^L(x)$$1$$x\notin L$$A$$M^A(x)$$\le1/2$

  Для відповідного однотонного многочлена , нехай є проблемою обіцянки, визначеною Нехай - поліноміальне скорочення на його доповнення, і - проблема обіцянки $p$$A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$

  $$\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$$ $h(x)$$L$$B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ $$\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$$ Якщо вибрано відповідно великим, Отже, припустимо для суперечності, що має схеми розміру полінома, скажімо, . Нехай позначає розмір найменшої схеми обчислення на входах довжиною , а ; точніше, Тоді$p(n)$ $$B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$$ $B$$B\in\mr{SIZE}(n^k)$$s(n)$$L$$n$$t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $$t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ - це зменшення до , таким чином , що означає Але оскільки є суперполіноміальним, маємо . Це дає протиріччя для досить великих.$L$$B$$L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ $$s(n)\le t(n)^k.$$ $f$$t(n)=s(n)^{o(1)}$$n$

Якщо ми віддаємо перевагу результату з необіцяною версією MA, Miltersen, Vinodchandran і Watanabe, доведено для напів-експоненційної функції . Ми можемо вдосконалити його двома способами: по-перше, він утримується для -експонентних меж для будь-якої постійної , а по-друге, це справедливо для забутих класів. Тут, -експоненціальна функція - це, грубо кажучи, функція така, що

$$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$$ $f$$\tfrac1k$$k$$\tfrac1k$$f$$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$. Для точного визначення див дивіться папір Miltersen – Vinodchandran – Watanabe та посилання на них; він включає в себе добре сприйняте сімейство добре поводиться функцій , , так що , , і . Також, якщо і , то . Тоді ми маємо:$e_\alpha(x)$$\alpha\in\mathbb R_+$$e_0(x)=x$$e_1(x)=e^x-1$$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

• $\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ для будь-якого .$\alpha>0$

  Ескіз доказування: Припустимо інакше. Зафіксуйте ціле число таким, що . Дозвольте скоротити За допомогою прокладки ми маємо для будь-якого . Більше того, використовуючи, наприклад, лемму 11 Сантанама вище, ми маємо імплікацію Так як тривіально , повторна програма з (1) і (2) показує ,$k$$1/k<\alpha$

  $$\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$$ $$\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$$ $\beta\ge0$ $$\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$$\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$$\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ , , тощо. Після кроків ми до Використовуючи підкладку ще раз, ми отримуємо що суперечить наведеним вище результатам , оскільки є суперполіномічною зв'язаною.$\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$$\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$$k$ $$\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$$ $$\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$$ $e_{1/k}$

Оскільки ніхто не опублікував відповіді, я сам відповім на це питання за допомогою коментарів, розміщених у оригінальному запитанні. Завдяки Робіну Котарі, Емілю Джерабеку, Ендрю Моргану та Алексу Головнєву.

$MA_{exp}$ здається, є найменшим рівномірним класом з відомими суперполіноміальними нижніми межами.

$O_2^P$ здається, є найменшим відомим класом, що не має схем розміром для кожного фіксованого .$n^k$$k$

За діагоналізації, це означає , що для будь-якого супер-многочлен (і просторово-конструктивні) функція , не мають схем полиномиального розміру. проти все ще відкритий.$s$$DSPACE[s(n)]$$PSPACE$$P/poly$

$P/poly$ закритий під доповненням, тому він містить тоді і лише тоді, коли він містить .$NEXP$$coNEXP$

Будь ласка , поправте мене , якщо я помиляюся, але, наскільки я можу судити, ми на самому ділі не знаємо , з фіксованим многочленом розміру нижньої межі для . Це тому, що звичайний аргумент Карпа-Ліптона не проходить для , оскільки ми не знаємо, (насправді це еквівалентно запитуванню, ). Однак ми знаємо, що не містяться в для будь-якого , як показали Чакараварті та Рой.$O_2^P$$O_2^P$$\textsf{NP}\subseteq O_2^P$$\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$$\textsf{NP}^{O_2^P}$$\textsf{SIZE}(n^k)$$k$