Субекспоненціально вирішувані задачі жорсткого графіка

25

У світлі недавнього результату Arora, Barak і Steurer, Субекспоненціальні алгоритми для унікальних ігор та пов'язаних з ними проблем , я цікавлюсь проблемами графіків, які мають субекспоненціальні алгоритми часу, але вважають, що вони не можуть бути поліноміально розв’язуваними. Відомий приклад - ізоморфізм графа, який має субекспоненціальний алгоритм час виконання. Інший приклад - проблема log-Clique, яка вирішується в квазіполіномному часі ( ). $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Я шукаю цікаві приклади, і, переважно, посилання на опитування субекспонентних проблем з жорстким графіком (не обов'язково незавершене). Крім того, чи існують якісь неповні проблеми з графіком із субекспоненціальними алгоритмами часу? $NP$ $NP$

Імпальязцо, Патурі та Зейн показали, що гіпотеза експоненціального часу передбачає, що Клік, Кольорова здатність та Вершинна кришка потребують часу . $2^{\Omega(n)}$

cc.complexity-theory reference-request

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

2

Просто для повноти: log-CLIQUE =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— клітку

20

До речі, проблема Макса Кліка в повній спільності може бути вирішена за час де- розмір вводу. $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ $N$

Це тривіально, якщо графік представлений через матрицю суміжності, оскільки тоді , і пошук грубої сили потребує часу . $N=|V|^2$ $2^{O(|V|)}$

Але ми можемо отримати таку саму межу, навіть якщо графік представлений списками суміжності за допомогою алгоритму часу роботи . Щоб побачити як, давайте отримаємо $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ - алгоритм часу для задачі рішення NP-повного рішення, в якому нам задають графікіі ми хочемо знати, чи є клік розміром. $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $G=(V,E)$ $k$ $\geq k$

Алгоритм просто видаляє всі вершини ступеня і ребра, що падають на них, потім робить це знову і так далі, поки нам не залишиться індуктор вершин над підмножиною вершин, кожна зі ступенів , або з порожнім графіком. В останньому випадку ми знаємо, що жодної кліки розміром може існувати. У першому випадку ми здійснюємо грубу операцію пошуку, яка працює в часі . Зауважте, що і $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ , так що що , і тому повний перебір працює під час фактично працює в часі $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ . $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— Лука Тревісан
джерело

12

Дійсно, з таких причин Імпальяццо, Патурі та Зейн стверджували, що при питанні про складність

проти

вам потрібно встановити

щоб він був розміром свідка (який потрібно визначити як частину проблема). У випадку

-clique свідок складається з

розмірів

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

для малого

, тоді як, як ви кажете, ви можете припустити, що wlog є принаймні

країв і розмір вводу набагато більше, ніж розмір свідка.

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— Боаз Барак

22

Оскільки кожен плоский графік на вершинах має ширину $n$ всі задачі, розв’язувані вчасідля графіків широкої ширини не більше ~(є багато таких проблем), мають алгоритми субекспоненціального часу на плоских графах шляхом обчислення постійного коефіцієнта наближення до ширини ширини в поліномі-часі (наприклад, шляхом обчислення ширини гілки за допомогою алгоритму ratcatcher), а потім запуск алгоритму широкої ширини, що призводить до виконання часу форми $O(\sqrt{n})$ $O^*(2^{O(k)})$ $k$ для графіків навершин. Приклади: Планарний незалежний набір і Планарний домінантний набір, які є NP-завершеними, звичайно. $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— Барт Янсен
джерело

15

Існує тісний зв'язок між суб-експоненціальною розчинністю в часі (SUBEPT) і фіксованою параметром тяговості (FPT). Посилання між ними наведено в наступній роботі.

Ізоморфізм між субекспоненціальною та параметризованою теорією складності , Йіджіа Чен та Мартін Грое, 2006.

Якщо коротко, вони ввели поняття під назвою мініатюризаційного відображення , яке відображає параметризовану задачу в іншу параметризовану задачу . Розглядаючи звичайну проблему як проблему, параметризовану розміром входу, ми маємо наступне з'єднання. (Див. Теорему 16 у статті) $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Теорема . знаходиться в SUBEPT iff знаходиться в FPT. $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Будьте уважні до визначень тут. Зазвичай ми розглядаємо задачу -clique як параметризовану в , тому для неї не існує субекспоненціального алгоритму часу, припускаючи гіпотезу експоненціального часу. Але тут ми дозволимо задачі параметризуватися вхідним розміром , таким чином задачу можна вирішити через $k$ $k$ $O(m+n)$ , який є субекспоненціальним алгоритмом часу. І теорема говорить нам, щозадача-clique є фіксованим параметром, який можна відстежувати під деяким поворотом параметра, що є розумним. $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

Взагалі проблеми SUBEPT в рамках скорочення SERF (сім'ї субекспоненціального скорочення) можуть трансформуватися в проблеми в FPT під час зменшення FPT. (Теорема 20 у статті) Крім того, зв'язки є ще сильнішими, оскільки вони дали теорему про ізоморфізм між цілою ієрархією проблем в експоненціальній теорії складності часу та параметризованій теорії складності. (Теорема 25 і 47) Хоча ізоморфізм не є повним (між ними є деякі пропущені зв’язки), все ще приємно мати чітке уявлення про ці проблеми, і ми можемо вивчити алгоритми субекспоненціального часу через параметризовану складність.

Додаткову інформацію див. В опитуванні Йорга Флума та Мартіна Грохе разом із Джейкобо Тораном, редактором колонки про складність.

— Сісен-Чі Чанг 張顯之
джерело

Так. btw, Flum і Grohe написали опитування; Торан - редактор стовпців складності.

— Енді Друкер

@Andy: Дякую за виправлення. Я відповідно змінив статтю.

— Сісен-Чі Чанг 張顯之

12

Іншим прикладом може бути гра Cop and Robber, яка є NP-жорсткою, але вирішуваною за часом на графах з n вершинами. Бібліографічний запис BibTeX у XML Федір В. Фомін, Петро А. Головач, Ян Кратохвіл, Ніколя Ніссе, Кароль Сучан: Переслідування швидкого грабіжника на графіку. Теорія. Обчислення. Наук. 411 (7-9): 1167-1181 (2010) $2^{o(n)}$

— XXYYXX
джерело

3

На жаль, це може бути ганебним, але я давно вважав, що проблеми з

Hard не мають алгоритмів субекспоненціального часу, лише тому, що гіпотеза експоненціального часу. :(

N P

$\mathsf{NP}$

— Сісен-Чі Чанг 張顯之

6

Не соромно ... але, один простий спосіб зрозуміти, що це неправда - це взяти будь-яку

-тверду мову

, а потім сформувати "підкладену" версію

в якій екземпляри "так" мають форму

, з

, для деяких фіксованих

. Тоді

-

N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$ , але має детермінований алгоритм, що працює в часі, по суті,

.

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

— Енді Друкер

7

Найкращий алгоритм наближення для кліки дає неймовірно поганий коефіцієнт наближення (нагадаємо, що коефіцієнт наближення тривіальний). $n/\text{polylog } n$ $n$

$n^{1-o(1)}$ $n/\text{polylog } n$

$n/\text{polylog } n$

$2^{\Omega(n)}$ $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ $N=n^{1/\epsilon}$ $\epsilon$

— Дана Мошковіц
джерело