Статус PP-повноти MAJ3SAT

КОРОТКЕ ЗАПИТАННЯ: Чи MAJ-3CNF є проблемою повного ПП при скороченні багато-одного?

ДОВІЖНА ВЕРСІЯ: Загальновідомо, що MAJSAT (вирішуючи, чи задовольняє більшість присуджень пропозиційного речення вирок) є повним рівнем PP при скороченні багатьох-один, а #SAT є # P-повним при парсимонічних скороченнях. Очевидно також, що # 3CNF (тобто #SAT обмежений формулами 3-CNF) є # P-завершеним, тому що зниження Кука-Левіна є парсимонічним і створює 3-CNF (це зменшення фактично використовується в книзі Пападімітріу показати # P-повноту #SAT).

Схоже, що подібний аргумент повинен довести, що MAJ-3CNF є PP-завершеним при зменшенні багатьох-один (MAJ-kCNF - MAJSAT, обмежений формулами kCNF; кожен пункт має k буквально).

Однак, у презентації Бейлі, Далмау та Колайтіса, "Фазові переходи проблем ПП-повної задоволеності", автори зазначають, що "MAJ3SAT невідомо, що є ПП-повним" (презентація за адресою https://users.soe.ucsc .edu / ~ kolaitis / розмови / ppphase4.ppt ). Це речення, схоже, не з’являється у пов'язаних з ними працях, лише у їхніх презентаціях.

Запитання: Чи може доказ того, що # 3CNF є # P-завершеним, справді адаптований, щоб довести, що MAJ3CNF є PP-повним? З огляду на заяву Бейлі та ін., Схоже, це не так; якщо доказ не містить, то: Чи є доказ того, що MAJ-3CNF є ПП-повним? Якщо ні, то чи існує інтуїція щодо різниці між PP та #P щодо цього результату?

КОРОТКИЙ ВІДПОВІДЬ:
Невідомо, чи є -повною проблемою при скороченні багато-одного.P $\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

ДОВГИЙ ВІДПОВІДЬ:
Перш за все, у своєму запитанні ви посилаєтесь на Бейлі, Далмау та Колайтіс та їх роботу над "$\mathsf{PP}$ Фазовими переходами неповні проблеми задоволення" . Дозвольте мені процитувати їх:

"Варто також зазначити, що, хоча є -повне, невідомо, чи існує ціле число , таке що є -повне. 'P P k ≥ 3 M A J O R I T Y k S A T P $\mathsf{MAJORITY \ SAT}$$\mathsf{PP}$$k \geq 3$$\mathsf{MAJORITY}$ $\mathsf{kSAT}$$\mathsf{PP}$

[ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X06004665 ]

Дійсно, правильно, що зниження Кука-Левіна є парсимонічним і виробляє 3CNF з даної CNF. Оскільки є -повноцінним, відразу випливає, що також є -повне під парсимонічними скороченнями. Однак, як уже зазначалося в коментарі, парсимонічні скорочення не зберігають більшість. Ці скорочення вводять допоміжні змінні для зменшення розміру пропозицій, але, в свою чергу, ці допоміжні змінні збільшують загальну кількість призначень. Наприклад, розглянемо 4CNF, який складається з одного пункту:# P # 3 C N F # $\mathsf{\#CNF}$$\mathsf{\#P}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{\#P}$

$\phi = (x_1 \vee x_2 \vee x_3 \vee x_4)$

який трансформується в

$\phi'=(x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (y \leftrightarrow (x_3 \vee x_4))$

за допомогою допоміжної змінної і, нарешті, до 3CNF$y$

$\psi= (x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (\neg y \vee x_3 \vee x_4) \wedge (y \vee \neg x_3 ) \wedge (y \vee \neg x_4).$

Ця трансформація чітко зберігає кількість моделей, але легко помітити, що більшість не збереглася. має 15 задовольняючих завдань із 16 завдань, тоді як має 15 задовольняючих завдань із 32 завдання. У першому задоволення більшості має місце, тоді як в другому задоволення більшості не має.$\phi$$\psi$

Отже, НІ, доказ того, що # 3CNF є -повне, не можна адаптувати, щоб довести, що є -повне? Залишається відкритим, чи є -повною проблемою при скороченні багато-одного.$\mathsf{\#P}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

# P P P # 3 C N F D # $\mathsf{MAJ3CNF}$ не дає багато розуміння між відмінностями та . Власне варіант рішення , скажімо, , визначається так: з урахуванням CNF та числа , вирішіть, чи має щонайменше задоволення завдання. Зауважте, що для нас не хвилює більшість. Таким чином, ми можемо перетворити будь-яку CNF у 3CNF за допомогою парсимонового скорочення, що доводить, що є -комплект за багатьох-одних скорочень.$\mathsf{\#P}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{\#3CNF}$ ϕ m ≥ 0 ϕ m D # 3 C N F D # 3 C N F P P M A J 3 C N F D # 3 C N $\mathsf{D\#3CNF}$$\phi$$m \geq 0$$\phi$$m$$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$ - це просто інша проблема, ніж .$\mathsf{D\#3CNF}$