Ієрархії звичайними мовами

Чи є якась відома «приємна» ієрархія $L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \dots$ (може бути скінченною) всередині класу регулярних мов $L$ ? Приємно, що класи в кожній ієрархії захоплюють різну виразність / силу / складність. Також приналежність до кожного класу "добре" демонструється деякими елементами (на відміну від висоти зірки, яка може бути проблематичною).

Дякую!

Ось перелік кількох цікавих ієрархій, про деякі з яких уже згадувалося в інших відповідях.

1. Ієрархії конкатенації

Мова є видатний продукт з L 0 , L 1 , ... , L п , якщо L = L 0 1 L 1 ⋯ п L п для деяких букв 1 , ... , п . Ієрархії конкатенації визначаються чергуванням булевих операцій та поліномних операцій (= об'єднання та позначений продукт). Ієрархія Штраубінг-Therien (початкова точка { ∅ , і ієрархія дот-глибина$L$$L_0, L_1, \ldots, L_n$$L = L_0a_1L_1 \cdots a_nL_n$$a_1, \ldots, a_n$$\{\emptyset, A^*\})\ $ (початкова точка є такого типу, але ви можете приймати інші вихідні точки, зокрема групові мови (мови, прийняті автоматами перестановки).$\{\emptyset, \{1\}, A^+, A^*\})\ $

2. Ієрархії зоряної висоти

Загальна схема полягає в підрахунку мінімальної кількості вкладених зірок, необхідних для вираження мови, починаючи з літер, але можливі кілька варіантів, залежно від основних операторів, які ви дозволяєте. Якщо ви дозволяєте лише з'єднання та продукт, ви визначаєте обмежену висоту зірки, якщо ви дозволяєте з'єднання, доповнення та продукт, ви визначаєте (узагальнену) висоту зірки, а якщо дозволяєте з'єднання, перетин та продукт, ви визначаєте проміжну висоту зірки . Існують мови з обмеженою зіркою для кожного n і далі, які можуть ефективно обчислити висоту зірки для заданої регулярної мови. Для висоти зірки значення зоряної висоти 0 визначається ( мови , що не містять зірок ), існують мови зоряної висоти $n$$n$$0$$1$ , але мови зоряної висоти немає невідома! На проміжній висоті зірки невідомо жодного результату. Дивітьсяцей документдля огляду.$2$

3. Логічні ієрархії

Їх багато, але одна з найважливіших - так звана ієрархія. Формула називається Σ п -формула , якщо вона еквівалентна формулі виду Q ( х 1 , . . . , Х до ) φ , де φ є квантіфікатор вільної і Q ( х 1 , . . . , Х к ) є послідовністю $\Sigma_n$$\Sigma_n$$Q(x_1,...,x_k)\varphi$$\varphi$$Q(x_1,...,x_k)$$n$ Блоки квантори, такі, що перший блок містить лише екзистенційні квантори (зауважте, що цей перший блок може бути порожнім), другий блок універсальними кванторами тощо. Аналогічно, якщо формується з п чергуючи блоки кванторів, що починаються з блоку універсальних кванторів (який знову може бути порожнім), ми говоримо, що φ - Π n -формула. Позначимо через Σ n (відповідно. Π n ) клас мов, який можна визначити за допомогою Σ n -формули (відповідно. A$Q(x_1,...,x_k)$$n$$\varphi$$\Pi_n$$\Sigma_n$$\Pi_n$$\Sigma_n$$\Pi_n$ -формули) та булеве закриття Σ n -мовах. Нарешті, нехай Δ n = Σ n ∩ Π n . Загальна картина виглядає приблизно так $\mathcal{B}\Sigma_n$$\Sigma_n$$\Delta_n = \Sigma_n \cap \Pi_n$ Для підпису, звичайно, потрібно вказати підпис. Існує, як правило предиката для кожної букви (і через е коштів є буква в положенні х в слові). Тоді можна додати двійковий символ <$\mathbf{a}$$\mathbf{a}x$$a$$x$$<$(відповідною ієрархією є ієрархія Штраубінга-Трієна), а також символ-наступник (відповідна ієрархія - ієрархія точок глибини). Інші можливості включають в себе предиката, для підрахунку по модулю N , і т.д. Див знову цю папір для огляду.$Mod$$n$

4. Булеві ієрархії

Загальна закономірність (яка не характерна для звичайних мов) пояснюється Хаусдорфом. Нехай - клас мов, що містить порожній набір і повний набір, і закритий під кінцевим перетином і кінцевим з'єднанням. Нехай D n ( L ) - клас усіх мов вигляду X = X 1 - X 2 + ⋯ ± X n, де X i ∈ L і X 1 ⊇ X 2 ⊇ X 3 ⊇ ⋯ ⊇ X n . З тих пір$\mathcal{L}$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

$$\begin{equation} X = X_1 - X_2 + \cdots \pm X_n \end{equation}$$ $X_i\in \mathcal{L}$$X_1 \supseteq X_2\supseteq X_3 \supseteq \cdots \supseteq X_n$ , класи D n ( L ) визначають ієрархію, а їх об'єднання - булеве закриття$\mathcal{D}_n(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{D}_{n+1}(\mathcal{L})$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$$\mathcal{L}$ . Знову можливі різні вихідні точки.

5. Групова складність

В результаті Крона-Родоса (1966) зазначено, що кожен DFA може бути змодельований каскадом скинутих (також званих триггерними) автоматами та автоматами, перехідні напівгрупи яких є кінцевими групами. Групова складність мови - найменша кількість груп, що беруть участь у такому розкладі мінімальної DFA мови. Мови складності це якраз зірки, що не містять зірок, і існують мови будь-якої складності. Однак невідома ефективна характеристика мов складності 1 .$0$$1$

6. Ієрархії успадковані від складності схеми

Вихідною точкою є приємна стаття яка зокрема показує, що клас A C 0 ∩ R e g є рішучим. Нехай A C C ( q ) = { L ⊆ { 0 , 1 } ∗ ∣ L ⩽ A C 0 M O D q } , де M O D q = { u ∈ { 0 , 1 $[1]$$AC^0 \cap Reg$$ACC(q) = \{ L \subseteq \{0,1\}^* \mid L \leqslant_{AC^0} MOD_q\}$ . Якщо q ділить q ′ , то A C C ( q ) ⊆ A C C ( q ′ ) . Цікавим питанням є знати, чи A C C ( q ) ∩ R e g вирішується для будь-якого q .$MOD_q = \{u \in \{0,1\}^* \mid |u|_1 \equiv 0 \bmod q\}$$q$$q'$$ACC(q) \subseteq ACC(q')$$ACC(q) \cap Reg$$q$

Баррінгтон, Девід А. Мікс; Комптон, Кевін; Штраубінг, Говард; Теріан, Денис. Регулярні мови в N C 1 . J. Comput. Система Sci.$[1]$$NC^1$ 44 (1992)

Розширення коментаря: природна ієрархія - це та, яку викликає кількість станів DFA.

Ми можемо визначити $\mathcal{L}_n = \{ L \mid \text{ exists an n-states DFA D s.t. } L(D) = L \}$

$D = \{Q, \Sigma, \delta, q_0, F \}$$|Q| = n$

$\mathcal{L}_n \subseteq \mathcal{L}_{n+1}$

$\mathcal{L}_n \subsetneq \mathcal{L}_{n+1}$$L_{n+1} = \{ a^{i} \mid i \geq n \} \in \mathcal{L}_{n+1}$

Very informally: the (minimum) DFA that recognizes $\{ a^{i} \mid i \geq n \}$ must be a "state chain" of length $n+1$ : $q_0 \to^a q_1 \to^a ... \to^a q_n$, $F = \{q_n\}$ and $q_n \to^a q_n$ ($q_n$ has a self-loop). So $n+1$ states are enough to accept $L_{n+1}$. But every accepting path from $q_0$ to a final state $q_f$ which is strictly shorter than $n+1$ must accept some $a^{i}$ with $i < n$ which doesn't belong to $L_{n+1}$, so a DFA with $n$ or fewer states cannot accept $L_{n+1}$.

I recently came across this paper which may give another relevant example (cf. the last sentence of the abstract):

Guillaume Bonfante, Florian Deloup: The genus of regular languages.

From the abstract: The article defines and studies the genus of finite state deterministic automata (FSA) and regular languages. Indeed, a FSA can be seen as a graph for which the notion of genus arises. At the same time, a FSA has a semantics via its underlying language. It is then natural to make a connection between the languages and the notion of genus. After we introduce and justify the the notion of the genus for regular languages, [...] we build regular languages of arbitrary large genus: the notion of genus defines a proper hierarchy of regular languages.

There are several natural hierarchies for regular languages of infinite words, that convey a notion of "complexity of the language", for instance:

• Number of ranks needed in a deterministic parity automaton
• Wadge (or Wagner) hierarchy: topological complexity, $\omega^\omega$ levels.

These hierarchies can be generalised for regular languages of infinite trees, for which new hierarchies appear, see for instance this answer.