Складність задачі матриці

Наступна проблема нещодавно з'явилася в моєму дослідженні. Будучи не знаючим алгоритмічних питань, я широко намагався шукати Гугла в пошуку відповідних проблем. Я не бачу, як працює 3SAT, і хоча ZOE схожий за духом, зменшення не очевидно. Іншою можливістю була б екзистенціальна теорія дій. Це теж не зовсім відповідає, але я можу помилитися з цим.

Проблема: $A$ і $B$ обидва $n\times n$ -матриці над улюбленим полем. Будемо вважати, що довільну множину індексів $A$ встановити на 0. Так само, довільну множину індексів $B$ встановити на 0. Запитання: чи можна заповнити решта індексів $A$ і $B$ такими, що $AB = I_n$ ?

Приклад: $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$ . Неможливо.

Яка обчислювальна складність цього (в $n$ )?

Будемо дуже вдячні за будь-які підказки чи ідеї, де шукати подібні результати в літературі.

EDIT (повністю забув про цю посаду): У недавній роботі, яка доступна на arXiv (якщо когось цікавить препринт, дайте мені знати), ми показали, що проблема є NP-жорсткою для будь-якого обмеженого поля.

cc.complexity-theory

— МБ
джерело

За умови, що базове поле є досить великим, проблема перевірки того, чи можна зробити

неперевернутим, зводиться до (доповнення) тестування поліноміальної ідентичності. Просто зауважте, що визначник

є многочленом у значеннях відсутніх записів. AB $AB$

AB $AB$

— Ендрю Морган

Також випадок, коли ми обмежуємо записи

рівними нулю одиниці, а характеристика поля більша за

, зводиться до двостороннього ідеального узгодження. Ви можете уявити вибір для кожного індексу

A $A$

B $B$

n $n$

i $i$ іншого індексу

щоб ви встановили

а решта записів - нуль. (Якщо покласти більше, ніж це, це може тільки нашкодити.) Тоді умову

можна виразити двостороннім графіком з індексами

ki $k_i$

Ai,ki=Bki,i=1 $A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

AB=In $AB = I_n$

i $i$ ліворуч - вибір

праворуч та ребра для пар

для яких ми можемо встановити

та

. ki $k_i$

(i,ki) $(i,k_i)$

Ai,ki $A_{i,k_i}$

Bki,i $B_{k_i,i}$

— Ендрю Морган

@MB: Також зверніть увагу, що перевіряючи, чи є

може бути оборотним таким жеяк і перевіркичиі

можуть,окремо, бути оборотними, перевіркичи

може бути зроблена оборотно не те ж самеяк перевіркичи

можна зробитиособу. Щоб перевірити, чи можна

(відповідно

) зробити незворотним, ви говорите "це можна зробити ефективно", але у ваших налаштуваннях цееквівалентноперевірці на ідеальну відповідність між підтримкою

(відповідно

AB $AB$

A $A$

B $B$

AB $AB$

A $A$

B $B$

A $A$

B $B$ ) (та сама проблема, але трохи інша постановка від другого коментаря Ендрю Моргана).

— Джошуа Грохов

Якийсь особливий випадок цієї проблеми, мабуть, виникне в PPAD, як, наприклад, лінійна проблема комплементарності: kintali.wordpress.com/2009/08/04/linear-complementarity-prob‌ lem Це показало б, що знайти рішення важко.

— domotorp

У випадку, якщо інші цього ще не зрозуміли, є вибір

(у будь-якому полі), для якого

, але для якого тест на ідеальне узгодження не вдається. тобто не існує матриця перестановок

, так що

підтримується на носії

, а

підтримується на підтримку

. Вибір дають

іA,B $A,B$

AB=I $AB = I$

P $P$

A $A$

P−1=P⊺ $P^{-1}=P^{\intercal}$

B $B$

A=⎡⎣⎢111−10−1011⎤⎦⎥ $A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

. B=⎡⎣⎢10−1110−1−11⎤⎦⎥ $B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

— Ендрю Морган

Ну, от не-жахлива верхньої межі над : , або припускаючи гіпотезу Рімана, . Це тому, що для будь-яких заданих шаблонів нулів для , перевірка того, чи можна зробити , перевіряє, чи певна система з цілих поліномних рівнянь має рішення в , і це можна зробити в цих верхніх межі, Койран. $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

Інший підхід полягає в тому, щоб спробувати використати той факт, що це насправді система білінеарних рівнянь. Розв’язування білінеарних рівнянь рівнозначно знаходженню розв'язків "ранг 1" для лінійних рівнянь. Я намагався визначити, чи є кращі верхні межі для вирішення білінеарних систем загалом, але поки що не пощастило. Можливо також, що можна було б використовувати певну структуру цих білінеарних рівнянь, щоб отримати щось краще, ніж те, що відомо загалом ...

— Джошуа Грохов
джерело

Чи не PSPACE випливає з проблеми, що знаходиться в НП?

— МБ

@MB: Над обмеженими полями проблема, очевидно, в NP (просто покажіть налаштування змінних), що є кращою верхньою межею, ніж AM, навіть. Коли вхід є цілими поліномами, але ви вимагаєте рішення у складних числах, коли є рішення, навіть не очевидно, що ви можете записати його в будь-яку кінцеву кількість пам'яті, не кажучи вже про поліноміально обмеженому.

— Джошуа Грохов