Чи існують повні NP-задачі без нескінченного підмножини екземплярів такі, що про членство в можна вирішити в поліномічний час, а для всіх , можна вирішити в поліноміальний час? (Припустимо, що )
Відповіді:
Дивіться відповідь Джоша Грохова на полі-часовий набір NP повного мови з нескінченною кількістю рядків, виключених з нього . Згідно з цією відповіддю, згідно з деякими природними криптографічними припущеннями, для кожної проблеми, що завершується спільним NP, існує нескінченна підмножина таких випадків, що членство в Φ - поліноміальний час, а проблема рішення, обмежена Φ, є тривіальною (відповідь завжди ні) .
Це можна формалізувати, заявивши, що жоден комплект, що не відповідає ко-NP, не має P-імунітету. Відомо також (знову ж таки за криптографічними припущеннями), що жоден NP-комплект не є імунодефіцитом P. Таким чином , існує інше нескінченна підмножина таких , що членство в Ф ' полиномиально перевіряється і проблема рішення обмежується Ф ' завжди має позитивну відповідь. Див., Наприклад, Glasser et al., "Властивості комплектів NP-Complete", SICOMP 2006, doi: 10.1137 / S009753970444421X .
Перше спостереження полягає в тому, що наявність саме те , що ви просите буде доказ того, що , як це буде означати , що безліч всіх випадках не може бути вирішена за поліноміальний час.
Однак, і я думаю, що саме це ви мали на увазі, ми можемо трохи пограти з тим, що ми маємо на увазі під "вирішеним за полином часу". Якщо ми маємо на увазі всі нескінченні підмножини випадків, члени яких належать до P, є N P -комплектними, то відповідь не теоремою Махані ( http://blog.computationalcomplexity.org/2007/06/sparse-sets-tribute -to-mahaney.html ). Ця теорема стверджує , що немає NP-повної задачі не може бути розрідженій , якщо P = N P . Тепер, беручи підмножину екземплярів { 0 i ∣ i ∈ N } , у нас є нескінченна розріджена підмножина примірників, для яких тестування належить що не може бути N P -комплектним, якщо P = N P за теоремою Махані.