Зіставлення шаблону з не турбує: кілька моделей

Двосторінковий документ SODA Kalai дає простий та ефективний алгоритм для узгодження шаблону з небайдужими (макіяжними символами, які відповідають одному символу). По суті, це так просто, як згортання.

Але що станеться, якщо ми шукаємо декілька шаблонів, не цікавлячись? Чи можемо ми все-таки якось вирішити це, наприклад, на основі методів FFT?

Для випадку з декількома шаблонами здається, що просто сканування для кожного з можливих може бути найкращим можливим рішенням, щонайменше, якщо тільки сильна гіпотеза експоненціального часу не вийде з ладу.

Нагадаємо, що задані набори $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ і $T_1, T_2, \dotsc, T_n$ над Всесвітом $[m]$, якби ми могли вирішити, чи є $S_i$ і $T_j$ такий як $S_i \cup T_j = [m]$ вчасно $O(n^{2-\varepsilon}\operatorname{poly}(m))$, тоді SETH виходить з ладу, тобто у нас є алгоритм CNF-SAT з часом роботи $O^*\bigl(2^{(1-\varepsilon/2)n}\bigr)$.

Дано набори $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ і $T_1, T_2, \dotsc, T_n$, ми кодуємо вищевказану проблему як узгодження декількох шаблонів, не дбаючи про двійковий алфавіт, наступним чином:

• Текст є $$1[T_1]10^{m+2}1[T_2]10^{m+2}\dots0^{m+2}1[T_n]1\,,$$ де $[T_i]$ є природним кодуванням $T_i$ як двійковий рядок.
• Ми маємо $n$ візерунки форми $1\langle S_i \rangle 1$, де $\langle S_i \rangle$ - це рядок $y = y_1y_2\dots y_m$ такий як $y_j = 1$ якщо $j \notin S_i$ і $y_j = *$ якщо $j \in S_i$ (тут $*$ символ небайдужих).

Тепер зрозуміло, що закономірність $1\langle S_i \rangle 1$ може відповідати тексту при появі $1[T_j]1$і лише коли $S_i \cup T_j = [m]$. Загальна довжина шаблонів і довжина тексту - обидва$O(nm)$, наприклад, таким чином, майже лінійний алгоритм однопрохідного режиму для декількох шаблонів міг би значно покращитись у порівнянні з найбільш відомими алгоритмами CNF-SAT ...

(Зауважте, що це нічого не говорить про алгоритми, які використовують багато часу для попередньої обробки шаблонів, скажімо, квадратичних у загальній довжині шаблонів.)