"Категорія" машин Тьюрінга?

Відмова: Я дуже мало знаю про теорію складності.

Вибачте, але насправді немає можливості задати це питання, не будучи (страшенно) лаконічним:

Якими мають бути морфізми в категорії "машин Тьюрінга"?

Це, очевидно, суб'єктивно і залежить від інтерпретації теорії, тому відповідь на це питання в ідеалі повинна також дати певні докази та міркування, що підтверджують відповідь.

Я хочу наголосити на тому, що я шукаю категорію машин Тьюрінга, а не офіційних мов, наприклад. Зокрема, я думаю, що мої морфізми повинні містити більш точну інформацію, а потім зменшення чи щось подібне (я не впевнений).

Звичайно, якщо в літературі вже є відома і використовувана категорія, я хотів би знати, що це таке.

cc.complexity-theory turing-machines ct.category-theory

— Саал Хардалі
джерело

Ви самі це сказали - обчислювальні функції.

— Yuval Filmus

@Raphael річ у тому, що ти ніколи насправді не визначаєш структуру, поки не поставиш її до категорії. Ось тоді позбавляються несуттєві ознаки конкретного визначення.

— Саал Хардалі

@SaalHardali Майте на увазі, що не всі дотримуються обіцянки порятунку, зробленої категоріями теоретиками. Насправді багато хто закочує очі.

— Рафаель

@JoshuaGrochow Існує морфізм, позначений

від

до

якщо

зменшує

до

(або, можливо, навпаки), тобто

. Це, скажімо, для машин, які на кожному вході або зупиняють, або ні, але не мають подальшого виводу.

f

$f$

T_{1}

$T_1$

T_{2}

$T_2$

f

$f$

T_{2}

$T_2$

T_{1}

$T_1$

T_{1} (x) = T_{2} (f (x))

$T_1(x) = T_2(f(x))$

— Yuval Filmus

Убік: чому ТМ повинні бути об’єктами? Вони також можуть бути морфізмами.

— Мартін Бергер

Відповіді:

Саал Хардалі зазначив, що він хотів, щоб категорія машин Тьюрінга займалася геометрією (або принаймні теорією гомотопії). Однак існує багато різних способів досягнення подібних цілей.

Існує дуже сильна аналогія між обчислюваністю і топологією. Інтуїція полягає в тому, що припинення / нетермінація схожа на простір Сьєрпінського, оскільки припинення кінцево спостерігається (тобто, відкрито), а нетермінація не (не відкрита). Див. Лекцію Мартіна Ескардо зазначає Синтетична топологія типів даних та класичних просторів для поміркованого, але всебічного ознайомлення з цими ідеями.
У паралельних та розподілених обчисленнях часто корисно думати про можливі виконання програми як пробіл, і тоді різні обмеження синхронізації можуть бути виражені як гомотопічні властивості простору. (Той факт, що виконання має часовий порядок, швидше за все, вимагає спрямованої теорії гомотопії, а не звичайної теорії гомотопії.)

Дивіться статтю Еріка Гобо Деякі геометричні перспективи теорії. Також дивіться папір Моріса Херліхі та виграш Геделя Ніра Шавіта "Топологічна структура асинхронної обчислюваності" , яка врегулювала деякі давні відкриті проблеми в теорії розподіленого програмування.
Третя ідея виходить через теорію типу гомотопії, через відкриття того, що теорія типу Мартіна-Лефа є (ймовірно?) Синтаксичним викладом (у розумінні генераторів та відносин) теорії омега-групоїдів - тобто моделей абстрактних теорія гомотопії. Найкращий вступ до цих ідей - книга теорії гомотопії .

Зауважте, що всі ці ідеї сильно відрізняються одна від одної, але всі досі використовують геометричні інтуїції! І є ще інші, які я не знаю, як використання, яке виникає в теорії геометричної складності, і те, як теорії схем можна описати в термінах (ко) теорії гомології графіків .

В основному, коли ви робите CS, геометрія - це інструмент - ви використовуєте його для формалізації своїх інтуїцій, щоб ви могли отримати важелі завдяки величезному колу роботи, який був зроблений на ньому. Але це підсилювач ідеї, а не заміна мати ідеї!

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Якщо ваші об'єкти - машини Тьюрінга, існує кілька розумних можливостей для морфізмів. Наприклад:

1) Розгляньте машини Тюрінга як автомати, якими вони є, і розгляньте звичайні морфізми автоматів (карти між алфавітами та станами, які відповідають один одному), які також зберігають рухи стрічок (-ів), або точно зворотні їх (наприклад, кожного разу, коли джерело TM йде вліво, цільовий TM йде вправо і навпаки).

2а) Розгляньте симуляції чи бісимуляції .

$T_1$ $T_2$ $f$ $T_1(x) = T_2(f(x))$ $x$

3) Розглянемо графік переходу машини Тюрінга (кожна вершина - це повний опис стану машини та стрічок із спрямованими краями, що відповідають переходам, які б здійснила ТМ) та розглянемо морфізм графіків. Для ТМ це дуже грубі стосунки, однак вони, по суті, ігнорують локальний характер обчислень (він ігнорує, наприклад, який вміст стрічок).

Я думаю, що справжнє питання: що ти хочеш знати про ТМ або робити з ними? За відсутності цього важко наводити аргументи щодо будь-якого визначення над іншим, крім природності (у звичайному розумінні цього слова, а не в категоричному сенсі).

— Джошуа Грохов
джерело

Я дуже новачок у цьому виді математики. У минулому я читав про теорію складності, але лише нещодавно я знову взяв її після того, як побачив когось в Інтернеті, який стверджував, що когомологічні методи вступлять в теорію складності в наступному столітті, і це мене зацікавило. Після деякого читання я зрозумів, що поза деяким поверхневим розумінням визначення машини тюрінга я в основному не знаю, що саме воно кодує. Ось як я прийшов до питання. Тож можна сказати, що на дуже рудиментарному рівні я намагаюся уявити, як когомологія може ввести теорію складності.

— Саал Хардалі

Я усвідомлюю, що це надзвичайно передчасно для того, як я, хто дуже мало розуміє цю тему, все ж я хотів трохи пограти з цією ідеєю в голові про "теорію гомотопії на категорії машин тюрінга". Ваша відповідь є приємною, і я, безумовно, прагну прочитати детальніше її аспекти. Дякую.

— Saal Hardali

@SaalHardali: Мені цікаво, де ви читали, що когомологія ввійде в теорію складності? Я можу придумати два способи, але я ще не бачу маршруту через теорію типу гомотопії (можливо, тому, що я ще не дуже добре розумію HoTT). Я бачу два способи: (1) в розподілених обчисленнях це є вже відбулося, а саме. Герліхія і Райсбаума, і (2) за допомогою теорії геометричної складності.

— Джошуа Грохов

За теорією гомотопії я посилався на загальну ідею вивчення категорій зі слабкими еквівалентами і не стільки HoTT. Я прочитав це в опитуванні про P =? NP, це не важко знайти. Я думаю, що це було пов'язано з одним із запитань на цьому сайті. Я вважаю, що моя перша здогадка (як аутсайдер) полягала в тому, що, можливо, є якась цікава слабка еквівалентність для якоїсь категорії моделі обчислень, яка якось відповідає класам складності, а потім вивчення функторів, інваріантних за цією слабкою еквівалентністю, буде складати те, що я називаю " теорія гомотопії ", мабуть, це дуже наївно і тотально промах.

— Саал Хардалі

Якщо ваш інтерес викликає теорія складності, а не теорія обчислень, можливо, ця відповідь вам корисна: cstheory.stackexchange.com/a/3422/4896

— Ніколов

Можливо, вас зацікавлять категорії Тьюрінг від Робіна Кокетта та Пітера Хофстри. З точки зору теорії категорій на питання «що категорія машин Тьюринга» менш цікаво , ніж «що категорична структура , яка лежить в основі обчислень». Таким чином, Робін і Пітер визначають загальну категорію, яка підходить для розробки теорії обчислюваності. Тоді існує кілька можливостей для визначення такої категорії, починаючи з машин Тьюрінга. Навіщо мати одну категорію, коли ви можете мати цілу категорію з них?

— Андрій Бауер
джерело