Кількість мінімальних розмірів DFA не більше

Дозволяє $\Sigma$ бути алфавітом розміру $2$ , і врахуйте мінімальні DFA, розмір яких обмежений максимум $m$ . Дозволяє $f(m)$ позначають кількість різних таких мінімальних DFA.

Чи можемо ми знайти формулу закритої форми для $f(m)$ ?

Враховуючи, що для $|\Sigma|=2$ функція переходу DFA розміром не більше є графіком. Оскільки ступінь вузлів обмежена , для кожного вузла є можливості пар дуг (як це запропоновано в коментарях). У цьому графіку є максимум можливих варіантів початкового стану та не більше можливих варіантів наборів кінцевих станів. Таким чином, максимальна кількість розмірів DFA не більше дорівнює . $m$ $2$ $m^2$ $m$ $2^m$ $m$ $f(m) \leq m^{2m}\cdot m\cdot2^m = 2^m\cdot m^{2m+1}$

Ми можемо узагальнити до довільного алфавіту : пов'язане стає $\Sigma$ $f(m) \le 2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ .

Але ми обмежили тут довільні DFA, і мені цікаво обмежити кількість мінімальних DFA. Таким чином, схоже, що ця межа може бути жорсткішою ... Хтось має кращу оцінку?

Буду вдячний, якщо можливо, деякі статті, пов’язані з цією проблемою, або доказ / зустрічний приклад.

— Луз
джерело

Я не думаю, що ваша верхня межа правильна. Схоже, так і має бути

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{2m}$ , а не

f (m) \leq m \times 2^{m} \times 2^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times 2^{2m}$ . Для кожного вузла розгляньте дві дуги, що ведуть від цього вузла; там є

m

$m$ можливості того, куди йде перша дуга, і

m

$m$ можливості для того, куди йде друга дуга, значить

m^{2}

$m^2$ можливості в цілому. Існує

m

$m$ вузлів, тому ми отримуємо

(m^{2})^{m} = m^{2 m}

$(m^2)^m = m^{2m}$ можливості для набору дуг. Узагальнення було б

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{| Σ | m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{|\Sigma| m}$ .

— DW

Ось посилання, яке може бути релевантним: "НА ЧИСЛО

— РОЗПОЛУЧЕНИХ МОВ, ПРИЙМАНИХ КОНКРЕТНИМ

Дякую обом за те, що виправили мою помилку і дали мені це посилання, яке справді є релевантним.

— Luz

Відповіді:

На думку Ішігамі Ю., Тані С. (1993) VC-розміри кінцевих автоматів з n станами, http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58 , розмір VC Концепція класу $n$ -державні DFA над розміром алфавіту $k$ є

d = d (n, k) := (k - 1 + o (1)) n \log_{2} n .

$d=d(n,k) := (k-1+o(1))n\log_2 n.$ Звідси випливає, що є щонайменше

2^{d}

$2^d$ виразний

n

$n$ -державні автомати на а

k

$k$ -літеральний алфавіт. Верхня межа чисельності таких автоматів випливає з простого аргументу підрахунку (наведеного в статті), і є максимум

2^{d}

$2^d$ .

— Ар'є
джерело

Дякую. З вашої відповіді я розумію, що є

m^{(| Σ | - 1 + o (1)) m}

$m^{(|\Sigma| - 1 + o(1)) m}$

m

$m$ -стати DFA (принаймні і не більше). Але мені цікаво підрахувати мінімальні DFA. Таким чином, ваша верхня межа не суперечить тій, яку я дав у моїй відповіді, правда?

— Luz

Я думаю, що це враховує і мінімальні DFA, оскільки розмір VC не залежить від представлення, він насправді рахує різні мови - які відповідають мінімальним DFA.

— Ар'є

о :( тоді ваша межа суперечить моїй ... оскільки моя має великий знаменник

(m - 1)!

$(m-1)!$ що робить це набагато нижче вашого ... як так ??

— Luz

Я не зовсім бачу протиріччя - великий знаменник

(m - 1)!

$(m-1)!$ досі заболочена

m^{m}

$m^m$ в числівнику.

— Ар'є

Насправді, якщо подивитися на доказ Thm. 3.2 у папері, до якого я пов’язаний, ви побачите саме той вираз у знаменнику.

— Ар'є

(Примітка: верхня межа, наведена у прийнятій відповіді, краща або дорівнює вказаній тут)

У цій роботі запропоновано верхню межу , подану в одному з попередніх коментарів: « Про кількість різних мов, прийнятих кінцевими автоматами з російськими державами » (2002, М. Домарацькі, Д. Кісман, Дж. Шалліт) .

У цій статті:

то $f_{|\Sigma|}(m)$ Функція забезпечує кількість відмінних неізоморфних мінімумів DFA $m$ -статей над a ${|\Sigma|}$ - алфавіт ,
то $g_{|\Sigma|}(m)$ Функція дає кількість різних мов, прийнятих DFA за допомогою $m$ держав над a ${|\Sigma|}$ -літеральний алфавіт .

Нас цікавить верхня межа для $g_{|\Sigma|}(m)$ функція, оскільки моє запитання задає верхню межу щодо кількості мінімальних DFA максимум $m$ штати (і не зовсім $m$ ).

Що я розумію зі сторінки $6$ нижче теореми $8$ чи це $g_{|\Sigma|}(m) \leq \frac{2^m\cdot m^{|\Sigma|m}}{(m-1)!}$ що є кращою межею, ніж та, яка наведена в моєму питанні (тобто $2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ ). Це частково відповідає на моє запитання.

Але документ стверджує, що ця верхня межа є тривіальною і її можна вдосконалити. Однак поліпшення стосується лише цього $f_{|\Sigma|}(m)$ (наскільки я це розумію).

— Луз
джерело