Кількісно визначені булеві формули з логарифмічними чергуваннями

Я вивчаю проблему, важку для класу кількісно визначених булевих формул з логарифмічним числом чергувань кількісних показників. Проблема в цьому класі виглядатиме так:

$\forall (x_1, x_2, \ldots x_{a_1}) \exists (x_{{a_1}+1}, \ldots x_{a_2}), \ldots \exists(x_{a_{\log n - 1}}, \ldots x_{a_{\log n}})F$

Де$a_{\log n} = n$ , а - булева формула змінних .$F$$x_1 \ldots x_n$

Цей клас чітко містить і міститься в . Чи є назва цього класу? Чи відомо про це щось більше?$PH$$AP = PSPACE$

Спираючись на відповідь Майкла Вехара, схоже, що ви можете легко показати, що обчислення можуть бути закодовані в полісимізмі таких QBF: ви використовуєте чергування O ( log n ) , кожен з біт p o l y ( n ) і зробіть аргумент, аналогічний теоремі Савича. Кожні два чергування поділять час виконання обчислень на p o l y ( $NTISP(n^{\log n},poly(n))$$O(\log n)$$poly(n)$ фактор.$poly(n)$

Я б назвав клас , слідуючи позначенням у "Fortuw's Tradeoffs for Satisfiability " Fortnow, який також можна було б навести за аргументом, викладеним у попередньому абзаці (але, будь ласка, дивіться статтю для попередніх посилань).$\Sigma_{O(\log n)} P$

(1) Що ми вже знаємо:

Як ви вже говорили, QBF з чергуваннями кількісних показників важко для кожного рівня ієрархії поліномів.$\log(n)$

(2) Я думаю, що ми також можемо довести наступне:

Проблема - -твердий.$NSPACE(log^2(n))$

(3) Ось моє неофіційне обґрунтування попереднього твердження:

З огляду на простір пов'язане НТМ і рядок введення, нам потрібно , щоб визначити , чи існує приймають обчислення на цьому рядку введення.$log^2(n)$

Кожна конфігурація в обчисленні може бути представлена ​​по суті бітами. Іншими словами, ми можемо представити конфігурацію групою змінних журналу 2 ( n ) .$\log^2(n)$$\log^2(n)$

Ідея полягає в тому, що у нас є початкова конфігурація і кінцева конфігурація, і нам потрібно відгадати обчислення, що відбувається між ними. Ми рекурсивно відгадуємо "середні" конфігурації, використовуючи існуючі квантори і повторюємо перевірку того, що "ліва" конфігурація переходить до "середини", а "середня" конфігурація переходить до "правої", використовуючи для всіх кількісних показників.

Тепер, щоб зробити цю роботу, замість вибору однієї "середньої" конфігурації, нам потрібно вибрати групу однаково розташованих "проміжних" конфігурацій між "лівою" і "правою" конфігураціями. Зокрема, ми могли б здогадатися однаково розташованих "проміжних" конфігурацій, використовуючи існуючі квантори з$\sqrt{n}$змінних, а потім повторювати кожен проміжок між конфігураціями, використовуючи для всіх кількісних показників з приблизноlog(n)змінними.$\sqrt{n} * log^2(n)$$\log(n)$

Рекурсію потрібно продовжувати лише до глибини щоб мати змогу покрити обчислення довжини $2 * \log(n)$де кожна конфігурація має максимумlog2(n)багато біт.$\sqrt{n} ^ {2 * \log(n)} = n^{\log(n)} = 2^{\log^2(n)}$$\log^2(n)$

Оскільки рекурсія має глибину , у нас є лише групи O ( log ( n ) ) змінних, тобто чергування. Оскільки в кожній групі кванторів є лише $O(\log(n))$$O(\log(n))$змінних, загалом маємоO($\sqrt{n} * log^2(n)$змінних.$O(\sqrt{n} * log^3(n))$

Не соромтеся пропонувати будь-які відгуки чи виправлення. Дуже дякую і сподіваюся, що це трохи допоможе.

(4) Більш загальне твердження, що пропонується у відповіді Райана:

Ви повинні мати можливість виконати попередню конструкцію більш загальним способом. Розглянемо наступне:

На кожному кроці рекурсії розбийте на групи "проміжних" конфігурацій, використовуючи c ( n ) біти на конфігурацію. Потім виконайте рекурсію на глибину d ( n ) .$g(n)$$c(n)$$d(n)$

Поки ми не маємо занадто багато змінних і занадто багато чергувань, це, здається, працює добре. Приблизно нам потрібно задовольнити наступне:

• $g(n) * c(n) * d(n) \leq n$
• $d(n) \leq \log(n)$

Наш узагальнений підхід буде використаний для імітації недетермінованих машин Тьюрінга, які працюють для кроків, використовуючи c ( n ) біти пам'яті.$g(n)^{d(n)}$$c(n)$

Зокрема, ми вибираємо наступне:

• $g(n) = \sqrt{n}$

• $c(n) = \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

• $d(n) = 2 * \log^2(n)$

Попередні нерівності задовольняються, і ми можемо здійснити побудову для імітації недетермінованих машин Тюрінга, які працюють приблизно за кроки, використовуючи $2^{\log^2(n)}$ біт пам'яті.$\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

Іншими словами, у нас кращий результат твердості, ніж раніше. Зокрема, проблема складна для .$NTISP(2^{\log^2(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$

(5) Подальші узагальнення:

У попередньому узагальненні ми моделювали недетерміновані машини та час Тьюрінга. Однак, можливо, ми зможемо також моделювати машини, що обмежують час і простір, обмежені часом і простором.

Дозвольте мені трохи пояснити. Таким чином, ми використовуємо грубо чергування щоб зробити рекурсію до журналу глибини ( n ) . Однак ми могли б спочатку використати деякі чергування, скажімо $\log(n)$$\log(n)$ . Тоді ми могли б використати решту$\sqrt{\log(n)}$ чергування для виходу на глибину$\sqrt{\log(n)}$ .$\sqrt{\log(n)}$

У цьому випадку ми могли б імітувати чергування машин Тьюрінга, які мають чергування з підлінійною довжиною свідків, запустіть для2 log $\sqrt{\log(n)}$кроки та скористайтесь$2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}$ біт пам'яті.$\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

Іншими словами, проблема складна для з підлінійною довжиною свідків. Як варіант, цей клас можна записати, використовуючи позначенняSTA,згадані в коментарях вище.$AltTimeSpace(\sqrt{\log(n)}, 2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$$STA$

Дякуємо за коментарі та не соромтесь запропонувати будь-які подальші виправлення чи уточнення. :)

Коротша відповідь.

Початкові спостереження:

• Проблема складна для кожного рівня ієрархії поліномів.
• $\log(n)$

Поглиблені відомості:

• $AltTime(\log(n), n)$
• $NTimeSpace(2^{\log^2(n)}, \sqrt{n})$

• $AltTimeSpace(a(n), t(n), s(n))$$a(n)$$t(n)$$s(n)$ має бути, але ми знаємо, що:

  1. $\; \; a(n) \leq \log(n)$

  2. $\; \; t(n) \leq 2^{\log^2(n)}$

  3. $\; \; s(n) \leq n$

$a(n)$$t(n)$$s(n)$

$n$$poly(n)$$a(n)$$t(n)$$s(n)$