Скорочення між мовами різної щільності?

Щільність мовної є функцією визначено як Припустимо, $X$ $d_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

d_{X} (n) = | {x \in X ∣ | x | \leq n} | .

$d_X(n) = |\{x\in X \mid |x| \le n\}|.$

A

$A$ і є мовами більш деякого кінцевого алфавіту, багатьох один logspace зводиться до , а

не перебуває у

. Функції

є полиномиально пов'язані , якщо існують многочлени

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

L = DSPACE (\log n)

$\textsf{L} = \text{DSPACE}(\log n)$

f, g : N \to N

$f,g \colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

p

$p$ і

такий, що для всіх

q

$q$

n \in N

$n\in \mathbb{N}$

f (n) \leq p (g (n))

$f(n) \le p(g(n))$

g (n) \leq q (f (n))

$g(n) \le q(f(n))$

Якщо щільність не є поліноміально пов'язаною з щільністю , чи може відбутися скорочення простору журналу з до ? $A$ $B$ $B$ $A$

Фон

Я очікую, що відповідь "ні", але наразі цього не можу показати.

Зрозуміло, що якщо знаходиться в то зменшення логічного простору від до . Отже, є кілька прикладів, на які можна надати певну негативну відповідь. $A$ $\mathsf{L}$ $B$ $A$

Я спершу мав на увазі випадок, коли є якоюсь твердою мовою, а отримується шляхом видування дірок у , приймаючи , для деякої мови розриву яка містить усі слова довжиною для деякого набору (див. Schmidt 1985, а також Regan and Vollmer 1997 ). Це гарантує тривіальне скорочення від до . Мови проміжків зазвичай мають експоненціально зростаючі проміжки між інтервалами розмірів у $B$ $A$ $B$ $A = B\cap G$ $G$ $n \in S_G$ $S_G \subseteq \mathbb{N}$ $A$ $B$ $G$ . Це забезпечує, що щільність і не є поліноміально пов'язаними. Однак, немає ніякої гарантіїщо дме отвори на мові завжди призводить до мовиякий має дуже мало структурущоб бути метою скорочення від . (Термінпродування отворів- відDowney і Fortnow 2003.) Різниця в щільності може бути достатньою, щоб гарантувати це, але я не відразу розумію, як це зробити. $S_G$ $A$ $B$ $B$

Інший приклад, коли являє собою суміш з твердого мови і . По- перше створити мову неповного пересічними деякого мови з мовою зазору . буде містити лише екземпляри розмірів, які знаходяться в інтервалах набору розмірів визначають мову розриву. Тепер створить шляхом змішування з деяким важким мовою в зазорах, беручи об'єднання і перетин з доповненням . Якщо $B$ $A$ $A\not\in\mathsf{L}$ $C \not\in \textsf{L}$ $G$ $A$ $S_G$ $B$ $A$ $D$ $A$ $D$ $G$ $D$ буде досить важко по порівнянні з , такі як бути -Жорсткий в той час як , то в силу просторової ієрархії теорема не може бути ніякого скорочення logspace від до . Потім представляється можливим розширити це , щоб показати , що не існує ніякого скорочення logspace від до . $C$ $D$ $\textsf{2EXPSPACE}$ $C \in \textsf{PSPACE} \setminus \textsf{L}$ $D$ $A$ $B$ $A$

Це все ще залишає ситуацію, коли важче але "не надто багато", наприклад, приймається як SAT, а - STCON, або QBF-SAT, а - SAT. Для отримання результату, можливо, доведеться припустити для STCON / SAT або для SAT / QBF-SAT, але мені не відразу зрозуміло, як використовувати ці припущення. $D$ $C$ $D$ $C$ $D$ $C$ $\mathsf{L} \ne \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP} \ne \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory reductions structural-complexity

— Андраш Саламон
джерело

Що щодо

- будь-яка мова щільністю

складається з усіх рядків, останній біт яких 0, об'єднання всіх рядків, останній біт яких 1, а перший

біт - це рядок у A?

A

$A$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

B

$B$

n - 1

$n-1$

— daniello

Я думаю, що коментар Даніелло відповідає на питання. Загалом, багато-одна зменшення дуже мало говорить про щільність, навіть якщо у вас є багато-одна зменшення в обох напрямках. 1-1 скорочення і 1-1 скорочення в обох напрямках (або навіть сильніші, p-ізоморфізми) дають співвідношення між щільністю (а саме конституція ізоморфізму Бермана-Хартманіса, що мотивує теорему Махані; насправді, я думаю, що ізоморфізм БГ міг бути основна мотивація в першу чергу дивитися на щільність ...)

— Джошуа Грохов

Нехай - будь-яка мова, не в , така, що має щільність , і визначимо Тут конкатенація. Мова має щільність $A$ $L$ $A$ $2^{o(n)}$

B = {s \circ 1 | s \in {0, 1}^{*}} \cup {s \circ 0 | s \in A} .

$B = \{s \circ 1 | s \in \{0,1\}^*\} \cup \{s \circ 0 | s \in A\}.$

\circ

$\circ$

B

$B$

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$ , який є суперполіномічним у

. З іншого боку, журнальний простір

зменшуються один до одного (

до

шляхом об'єднання

, а

до

шляхом зменшення всіх рядків, що закінчуються на

до найменшого екземпляра Так і видалення останнього біта з усіх рядків закінчення на

). Отже ,

а.

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

0

$0$

B

$B$

A

$A$

1

$1$

0

$0$

B \notin L

$B \notin L$

— даніелло
джерело

Щоб задовольнити вимогу, що

має бути досить твердим у цій конструкції. Досить дозволити

бути унарною версією Halting, яка має щонайменше один примірник кожного розміру вводу.

B \notin L

$B \not\in \textsf{L}$

A

$A$

A

$A$

— Андрас Саламон

@ András Salamon, дякую, що вказав на це, відредагував відповідь, щоб зафіксувати коментар.

— daniello