Чи вирішується SAT обмеженої ширини в просторі журналів?

Ельберфельд, Якобі та Тантау 2010 ( ECCC TR10-062 ) довели просторово ефективну версію теореми Бодлендера. Вони показали, що для графіків з шириною ширини не більше можна розкласти дерево шириною за допомогою логарифмічного простору. Постійний коефіцієнт у зв'язаному просторі залежить від . (Теорема Бодлендера показує лінійну обмежену в часі з експоненціальною залежністю від у постійному коефіцієнті.) $k$ $k$ $k$ $k$

SAT стає легким, коли набір пропозицій має невелику ширину. Зокрема, Фішер, Маковський та Равве 2008 показали, що відповідність формулам CNF із широтою ширини графіка падіння, обмеженою можна визначити не більше ніж арифметичних операцій, коли задано розкладання дерева. За теоремою Бодлендера, обчислення деревного розкладу графіка падіння для фіксованого можна виконати в лінійному часі, і тому SAT можна визначити для обмежених формул ширини в часі, що є поліномом низького ступеня в кількості змінних . $k$ $2^{O(k)} n$ $k$ $n$

Тоді можна очікувати, що SAT насправді можна вирішити, використовуючи логарифмічний простір, для формул із обмеженою шириною ширини графіка частоти. Незрозуміло, як модифікувати Fischer et al. підхід для прийняття рішення про те, що SAT перетворюється на щось ефективне для простору. Алгоритм працює, обчислюючи вираз для кількості рішень за допомогою включення-виключення та рекурсивно оцінюючи кількість рішень менших формул. Хоча обмежена широчина ширини допомагає, підформули здаються занадто великими для обчислення в логарифмічному просторі.

Це змушує мене запитати:

Чи відомо, що SAT для формул обмеженої ширини є або ? $\mathsf{L}$ $\mathsf{NL}$

— Андраш Саламон
джерело

Чи не той факт, що SAT у L для обмежених екземплярів широкої ширини безпосередньо не випливає з результатів у цитованій вами роботі? Набір формул, що задовольняються, визначається MSO. Тому задоволення можна вирішити в лінійному часі на графах обмеженої ширини через теореми Бодлендера + Куррелле. Ельберфельд-Якобі-Тантау-2010 показують, що властивості MSO можна визначити в логарифмічному просторі на графах обмеженої ширини, надаючи логарифмічні просторові версії теорем Бодлендера + Куррелле. Таким чином, SAT можна визначити в просторі журналів на графіках обмеженої ширини.

— Матеус де Олівейра Олівейра

@MateusdeOliveiraOliveira, деталі мені не здаються зрозумілими. SAT визначається MSO за допомогою структури з двома направленими крайовими відношеннями (Приклад Імермена 2.18), об'єднання яких призводить до країв графіка падіння, коли напрямок забудеться. Однак мені незрозуміло, що можна використовувати графік захворюваності як такий, щоб визначити задоволеність MSO (наприклад, через набір кришки), щоб мати можливість застосувати Bodlaender / Courcelle / EJT.

— Андраш Саламон

@ Терарему Андраса Саломона Косурлла можна викласти для графіків з кольоровими вершинами та ребрами. Ширина кольорів таких кольорових графіків така ж, як і ширина кольорових кольорів. Існує багато способів моделювання довільних реляційних структур як кольорових графіків.

— Матеуш де Олівейра Олівейра

У випадку формул ви хочете визначити реляційну структуру, яка кодує одночасно формулу та графік захворюваності. (в іншому випадку, як би ви визначили задоволення в першу чергу?) Тоді, використовуючи відповідне поняття пропускної здатності для такої структури, ми маємо, що ширина ширини структури (графік формули + частоти) є щонайбільше адитивною константою, більшою, ніж ширина ширини лише графік захворюваності. Зауважимо, що існує багато способів визначення таких комбінованих реляційних структур, і по суті кожен автор використовує той, який найбільше підходить для його контексту.

— Матеус де Олівейра Олівейра

@Mateus, дякую! Це досить корисний коментар; Я не усвідомлював характер "широкої ширини" інструментальності в описовій складності. Хочете перетворити це на відповідь?

— Андраш Саламон

Дійсно, використовуючи результат результату в Ельберфельд-Якобі-Тантау-2010, можна показати, що SAT можна визначити в журналі журналу за формулами, графік частоти яких обмежував ширину руху. Ось ескіз того, як проходять основні етапи доказу цієї претензії.

Поняття про розкладення дерев і широту ширини можна узагальнити до довільних реляційних структур. Дивіться, наприклад, розділи 2 і 3 цього документу від Dalmau, Kolaitis і Vardi.
Теорема Курсерлла зазначає, що логіку МСО можна визначити за лінійним часом щодо реляційних структур постійної ширини.
$t$ $f(t)\cdot n$
$\tau$ $F$ $I$ $\tau$ $I$
$\tau$
Отже, за теоремою Бодлендера + Курсорлла, можна вирішити, чи формула постійної широти ширини задовольняє в лінійному часі.
Ельберфельд-Якобі-Тантау-2010 показують, що "лінійний час" може бути замінений на "логарифмічний простір" як у теоремі Бодлендера, так і в теоремі Касерле.
$\varphi$ $\tau$ $\tau$ $\varphi$
Зокрема, SAT можна визначати в просторі журналів на графіках постійної широти.

— Матеус де Олівейра Олівейра
джерело