Приблизний вибірки з опуклих багатогранників з квантовими комп'ютерами

Квантові комп'ютери дуже хороші для вибірки розподілів, які ми не знаємо, як відібрати за допомогою класичних комп'ютерів. Наприклад, якщо f - булева функція (від до - 1 , 1 ), яку можна обчислити в поліноміальний час, то за допомогою квантових комп'ютерів ми можемо ефективно відібрати вибірку відповідно до розподілу, описаного розширенням Фур'є f. (Ми не знаємо, як це зробити з класичними комп’ютерами.)$\{-1,1\}^n$${-1,1}$

Чи можемо ми використовувати квантові комп'ютери для вибірки або приблизно вибірки випадкової точки в багатограннику, описаної системою n нерівностей у d змінних?

Перехід від нерівностей до точок здається мені дещо схожим на "перетворення". Більше того, я би радий бачити квантовий алгоритм, навіть якщо ви модифікуєте розподіл, наприклад, розгляньте добуток розподілу Гаусса, описаний гіперпланами багатогранника чи якісь інші речі.

Кілька зауважень: Дайер, Фриз та Каннан знайшли відомий класичний алгоритм багаточленного часу для приблизно вибірки та приблизно обчислення обсягу багатогранника. Алгоритм заснований на випадкових прогулянках та швидкому перемішуванні. Отже, ми хочемо знайти інший квантовий алгоритм з тією ж метою. (Гаразд, ми можемо сподіватися, що квантовий алгоритм може призвести також до того, що в цьому контексті ми не знаємо робити класично. Але для початку все, що нам потрібно, - це інший алгоритм, це повинно бути можливим.)

По-друге, ми навіть не наполягаємо на приблизно вибірці рівномірного розподілу. Ми будемо раді випробовувати якийсь інший приємний розподіл, який приблизно підтримується на нашому багатограннику. Існує аргумент Сантоша Вампала (а також мене в іншому контексті), що веде від вибірки до оптимізації: якщо ви хочете оптимізувати вибірку f (x), щоб знайти точку y, де типовим є f (x). Додайте обмеження {f (x)> = f (y)} і повторіть.

Як відзначається в публікації, існування класичного алгоритму поліноміального часу для оцінки обсягу опуклого багатогранника є зміною гри. Квантовий алгоритм набагато рідше буде цікавим, якщо він не є конкурентоспроможним класичним алгоритмам. Зрештою, без цього критерію будь-який класичний алгоритм можна було б просто назвати квантовим алгоритмом.

Однак, для поліноміального прискорення все ще є місце, і головна, відома точка зору для цього типу швидкості - це квантова хода, особливо враховуючи, що класичне прискорення в цьому випадку базується на хорошій випадковій ході. (Дійсно, будь-який квантовий алгоритм можна розглядати як квантову прогулянку, але для деяких алгоритмів це не обов'язково освічує.) Різні статті в літературі з КК вказували, що алгоритми для оцінки обсягу опуклого багатогранника використовують випадкові прогулянки, і що може бути прискорення від квантової прогулянки. Отже, видається, що дослідники знають цю пропозицію, але ніхто не намагався розібратися, яке поліноміальне прискорення ви можете отримати для цієї проблеми. Ви можете нічого не отримати, якщо найкращий класичний алгоритм має якийсь спойлер,

Ось збірка паперів, які всі згадують основну ідею мимохідь; знову ж таки, схоже, Google Академія припускає, що ніхто не пішов далі.

1. arXiv: Quant-ph / 0104137 - Квантові прогулянки по гіперкубі
2. arXiv: quant-ph / 0205083 - Квантові випадкові прогулянки потрапляють в експоненціально швидше
3. arXiv: Quant-ph / 0301182 - Невідповідність дискретних квантових прогулянок
4. arXiv: Quant-ph / 0304204 - Контроль дискретних квантових прогулянок: монети та інтитуальні стани
5. arXiv: Quant-ph / 0411065 - Квантова прогулянка по лінії з двома заплутаними частинками
6. arXiv: quant-ph / 0504042 - Заплутування в оброблених квантовими прогулянками звичайних графах
7. arXiv: quant-ph / 0609204 - Квантове прискорення класичних процесів змішування
8. arXiv: 0804.4259 - Прискорення квантового відбору проб
9. Випадковий підхід до квантових алгоритмів
10. Дискретна квантова хода для розв’язування нелінійних рівнянь над кінцевими полями

Інша сторона класичних алгоритмів для оцінки обсягу опуклого політопа - це лінійне програмування. Я не знаю, що було досягнуто прогресу в пошуку квантового прискорення для цього. Здається важко уникнути етапу лінійного програмування для того, щоб поставити опуклий політоп у вигідне положення для відбору проб.