Яка оракул мінімальної складності, що відокремлює PSPACE від ієрархії поліномів?

Фон

Відомо , що існує оракул $A$ такий , що $PSPACE^A \neq PH^A$ .

Відомо навіть, що поділ має відношення до випадкового оракула. Неофіційно можна трактувати це так, що існує багато оракул, для яких $PSPACE$ і $PH$ є окремими.

Питання

Як складно ці оракули , які відокремлюють $PSPACE$ від $PH$ . Зокрема, чи існує оракул $A \in DTIME(2^{2^{n}})$ такий, що $PSPACE^A \neq PH^A$ ?

Чи є у нас оракул $A$ такий, що $PSPACE^A \neq PH^A$ і $A$ має верхню межу відомої складності?

Примітка: існування такого оракулу може мати наслідки в теорії структурної складності. Дивіться наступне оновлення нижче для отримання додаткової інформації.

Оновіть деталі про нижню межу техніки

Затвердження: Якщо , то для всіх оракулів ∈ P / р про л у , Р С Р С Е А = Р Н А .$PSPACE = PH$$A \in P/poly$$PSPACE^A = PH^A$

Доказ Ескіз: Припустимо , що .$PSPACE = PH$

Нехай дається оракул . Ми можемо побудувати багаточленну машину Тюрінга M poly 2 oracle O, яка для заданої довжини n відгадує схему розміру p ( n ) за допомогою екзистенціальної кількісної оцінки та перевіряє, що схема визначає A шляхом порівняння оцінки схеми та результату запиту для кожної довжини n рядка з використанням універсального кількісного визначення.$A \in P/poly$$\Sigma_2$$M$$n$$p(n)$$A$$n$

Далі розглянемо проблему вирішення, яку я маю на увазі як кількісно визначену булеву схему (QBC), де вам задано кількісну схему булевої схеми і хочете дізнатися, чи вона дійсна (подібно до QBF). Ця проблема є повною в PSPACE, оскільки QBF - PSPACE.

За припущенням, це означає , що QBC . Скажімо, Q B C ∈ Σ k для деяких k досить великих. Нехай N позначає многочленний час Σ k машина Тюрінга, що розв'язує QBC.$\in PH$$QBC \in \Sigma_k$$k$$N$$\Sigma_k$

Ми можемо змішуватися обчисленням і N (подібно до того , як це робиться при доведенні теореми Карпа-Lipton) , щоб отримати поліноміальний час Е до оракула машини Тьюринга , яка вирішує Q B C A .$M$$N$$\Sigma_k$$QBC^A$

Неофіційно ця нова машина приймає за вхід Oracle QBC (тобто QBC з воротами Oracle). Потім він обчислює ланцюг, що обчислює на входах довжиною n (одночасно зриваючи перші два квантори). Далі, він замінює оракула ворота в оракула QBC зі схемою для A . Нарешті, він продовжує застосовувати залишок алгоритму поліноміального часу Σ k для вирішення Q B C на цьому модифікованому екземплярі.$A$$n$$A$$\Sigma_k$$QBC$

Тепер ми можемо показати умовну нижню межу.

Висновок: Якщо існує оракул такий, що P S P A C E A ≠ P H A , то N E X P ⊈ P / p o l y .$A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \nsubseteq P/poly$

Доказ Ескіз: Припустимо , що існує таке , що Р С Р С Е ≠ Р Н . Якби N E X P ⊆ P / p o l y , то ми отримали б протиріччя.$A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \subseteq P/poly$

Зокрема, якщо , то по п вище , ми маємо Р С Р А С Е ≠ P H . Тим НЕ менше, відомо , що Н Е Х Р ⊆ Р / р про л у означає , що Р С Р С Е = Р Н .$NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE \neq PH$$NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE = PH$

(див. тут детальну інформацію про відомі результати для P / poly)

Я вважаю, що якщо простежити аргумент, наведений, наприклад, у розділі 4.1 опитування Кер-І Ко , ви отримаєте верхню межу . Фактично, ми можемо замінити тут n 2 будь-якою функцією n f ( n ), де f ( n ) → ∞ як n → ∞ . Про це не зовсім просили, але це близько.$\mathsf{DTIME}(2^{2^{O(n^2)}})$$n^2$$nf(n)$$f(n) \to \infty$$n \to \infty$

Зокрема, використовуючи переклад між розділеннями оракул та нижніми межами ланцюга та після позначення Ко, ми маємо наступне:

• Будемо діагоналізувати по рядках довжиною де p n ( x ) = x n + n - " n" -й многочлен (у деяких перерахуваннях багаточасових алгоритмів) і m ( n ) буде вказано нижче.$t(n) = p_n(m(n))$$p_n(x) = x^n + n$$n$$m(n)$

• Це означає, що ми розглядаємо схеми обмеженої глибини на входах .$2^{t(n)}$

• Вимога (див. Стор. 15 Ко) нам потрібна щоб задовольнити $m(n)$$\frac{1}{10} 2^{m/(d-1)} > d p_n(m(n))$ for all $n$. Here $d$ is the depth of the circuits we want to diagonalize against, or equivalently the level $\mathsf{\Sigma_d^p}$ of $\mathsf{PH}$ we want to diagonalize against. To diagonalize against all of $\mathsf{PH}$, simply choose $d$ to be a function of $n$ that is $\omega(1)$; we may choose such a $d$ that grows arbitrarily slowly, though (perhaps subject to some computability assumption on $d(n)$, but that should be no obstacle). If we make the guess that $d(n)$ is constant (even though it's not, but it will grow arbitrarily slowly), then we see that $m(n)$ around $2^n$ should work.

• This means that $t(n) \sim 2^{n^2}$, so we are looking for a lower bound against circuits with $\sim 2^{2^{n^2}}$ inputs.

• Trevisan and Xue (CCC '13) showed that one can find an assignment on which a given bounded-depth circuit on $N$ inputs doesn't compute PARITY with a seed of $polylog(N)$ length.

• For us $N=2^{2^{n^2}}$, so $polylog(N) = 2^{O(n^2)}$. We can brute force over such seeds in $2^{2^{O(n^2)}}$ time and use the first one that works.

To replace the $n^2$ with $nf(n)$, just let $p_n(x) = x^{f(n)} + f(n)$ instead.

Interestingly, if I'm understanding correctly, I believe this implies that if one could improve the Trevisan-Xue...

• ...to a pseudodeterministic/Bellagio algorithm (see Andrew Morgan's comment below), one would get that $\mathsf{BPEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$; or

• $polylog(N)$$poly(N)$ time, and such that on any accepting path it makes the same output (cf. $\mathsf{NPSV}$), it would imply $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$; or

• ... to a deterministic algorithm, one would get $\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$.

On the one hand, this suggests why derandomizing the switching lemma further should be hard - an argument which I'm not sure was known before! On the other hand, this strikes me as a kind of interesting take on hardness versus randomness (or is this actually a new thing, oracles versus randomness?).