Квадратична залежність між недетермінованим та детермінованим простором?

Теорема Савича показує, що для всіх досить великих функцій $\mathrm{NSPACE}(f(n)) \subseteq \mathrm{DSPACE}(f(n)^2)$$f$ , а доведення, що це щільно, є відкритою проблемою протягом десятиліть .

Припустимо, ми підійдемо до проблеми з іншого кінця. Для простоти припустімо булеву абетку. Обсяг простору, який використовується ТМ для визначення обчислювальної мови, часто тісно пов'язаний з логарифмом кількості станів, використовуваних автоматом, що імітує TM для кожного регулярного фрагмента мови. Це мотивує наступне питання.

Нехай - кількість синтаксично відмінних DFA з n станами, а N n - кількість різних NFA з n станами. Безпосередньо можна показати, що lg N n близький до ( lg D n ) 2 .$D_n$$n$$N_n$$n$$\lg N_n$$(\lg D_n)^2$

Крім того, нехай - кількість різних регулярних мов, які можуть бути розпізнані DFA з n станами, і N ' n - число, розпізнане NFA.$D_n'$$n$$N_n'$

Чи відомо, чи близький до ( lg D ′ n ) 2 ?$\lg N_n'$$(\lg D_n')^2$

Мені незрозуміло, як і D ' n , або N n і N ' n пов'язані один з одним, або наскільки тісно. Якщо все це стосується добре відомого питання в теорії автоматів, то натяк чи вказівник будуть вдячні. Це ж питання стосується і двосторонніх автоматів через ті ж міркування, і мене особливо цікавить ця версія.$D_n$$D_n'$$N_n$$N_n'$

У моєму документі з Домарацкі та Кісманом "Про кількість різних мов, прийнятих скінченними автоматами з n державами", опубліковані в J. Automata, Languages ​​та Combinatorics 7 (2002), ми довели, що якщо - це число різні мови, прийняті NFA з n станами в алфавіті k -bter, і g k ( n ) аналогічно кількості різних мов, прийнятих DFA, тоді для фіксованих k ≥ $G_k (n)$$n$$k$$g_k (n)$$k \geq 2$

(i) - до менших строків порядку асимптотично k n log $\log g_k (n)$$kn\log n$

(ii) - асимптотично між ( k - 1 ) n 2 і k n 2 - до менших строків порядку .$\log G_k (n)$$(k-1)n^2$$kn^2$