"Майже сортування" цілих чисел у лінійному часі

Мене цікавить сортування масиву позитивних цілих значень за лінійним часом (у моделі ОЗУ з рівномірною мірою витрат, тобто цілі числа можуть мати до логарифмічного розміру, але арифметичні операції на них, як передбачається, приймають одиниця часу). Звичайно, це неможливо з алгоритмами сортування на основі порівняння, тому мені цікаво обчислити "приблизний" сорт, тобто обчислити деяку перестановку з , який на самому ділі не сортується в цілому , а «добре наближення» з відсортованої версії . Я буду припускати, що ми сортуємо цілі числа у порядку зменшення, оскільки це робить продовження трохи приємніше констатувати, але, звичайно, можна було б вирішити проблему навпаки.$L = v_1, \ldots, v_n$$v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(n)}$$L$$L$

Одним із можливих критеріїв приблизного сортування є такий (*): нехай є , для кожного нам потрібно, щоб (тобто, список "квазісортизованих" обмежується зверху функцією зменшення ). Неважко помітити, що фактичний сорт задовольняє цьому: має бути не більшим, ніж тож воно є не більше що є , і взагалі має бути не більше що \ leq N / i$N$$\sum_i v_i$$1 \leq i \leq n$$v_{\sigma(i)} \leq N/i$$i \mapsto N/i$$v_{\sigma(2)}$$v_{\sigma(1)}$$(v_{\sigma(1)} + v_{\sigma(2)})/2$$\leq N/2$$v_{\sigma(i)}$$(\sum_{j \leq i} v_{\sigma(i)})/i$$\leq N/i$.

Наприклад, вимога (*) може бути досягнута алгоритмом, наведеним нижче (запропонований @Louis). Моє запитання: чи існує робота над цим завданням "майже сортування" цілих чисел за лінійним часом, нав'язуючи якусь вимогу на зразок (*), яку би задовольнив реальний сорт? Чи має алгоритм нижче, чи якийсь його варіант, встановлену назву?

Правка: виправлено алгоритм та додано більше пояснень

Алгоритм:

INPUT: V an array of size n containing positive integers
OUTPUT: T

N = Σ_{i<n} V[i]
Create n buckets indexed by 1..n
For i in 1..n
| Add V[i] into the bucket min(floor(N/V[i]),n)
+

For bucket 1 to bucket n
| For each element in the bucket
| | Append element to T
| +
+

Цей алгоритм працює за призначенням з наступних причин:

1. Якщо елемент $v$ знаходиться у відрі $j$ то $v ≤ N/j$ .

   $v$ покладено у відро$j=\min(N/v,n)$ , таким чином$j ≤ \lfloor N/v\rfloor ≤ N/v$

2. Якщо елемент знаходиться у відрі то або або . $v$$j$$N/(j+1) < v$$j=n$

   $v$j = min ( N / v , n ) j = ⌊ N / v ⌋ j = n j = ⌊ N / v ⌋ j ≤ N / v < j + 1 N / ( j + 1 ) < v поміщається у відро , таким чином або . У першому випадку що означає і, таким чином, .$j=\min(N/v,n)$$j = \lfloor N/v \rfloor$$j=n$$j=\lfloor N/v\rfloor$$j ≤ N/v < j+1$$N/(j+1) < v$

3. Для у відрах є, щонайбільше, елементів, від 1 до .$j<n$$j$$j$

   Нехай і - загальна кількість елементів в одному з відрів 1..j. За 2. маємо, що кожен елемент відра (при ) такий, що . Тому сума усіх елементів у відрах від до більша, ніж . Але ця сума також менша, ніж таким чином і, таким чином, що дає нам або .$j<n$$k$$v$$i$$i ≤ j$$N/(j+1)≤N/(i+1)<v$$K$$1$$j$$k×N/(J+1)$$K$$N$$k×N/(j+1) < K ≤ N$$k/(j+1) < 1$$k<j+1$$k≤j$

4. $T$ задовольняє (*), тобто -й елемент такий, що$j$$T$$T[j] ≤ N/j$

   За 3. маємо, що , -й елемент , походить з відра з тому .$T[j]$$j$$T$$i$$i ≥ j$$T[j] ≤ N/i ≤ N/j$

5. Цей алгоритм займає лінійний час.

   Обчислення займає лінійний час. Відра можуть бути реалізовані за допомогою пов'язаного списку, який має введення та ітерацію . Вкладений цикл працює стільки разів, скільки є елементів (тобто разів).$N$$O(1)$$n$

Це дуже схоже на алгоритм ASort. Дивіться цю статтю Giesen et. ін .:

https://www.inf.ethz.ch/personal/smilos/asort3.pdf

На жаль, час роботи не зовсім лінійний. Стаття вище доводить, що будь-який рандомізований алгоритм на основі порівняння ранжирує елементів у межах має нижню межу (припускаючи ).$n$$n^2/\nu(n)$$n*log (\nu(n))$$\nu(n) < n$

EDIT , відповідаючи на пояснення у запитанні:

Те, що ви робите, - це просто відро . Однак алгоритм сортування відра в даному випадку не лінійний. Проблема: ви повинні підсумувати натуральні числа, а потім виконати ділення на кожне з них. Оскільки цифри не обмежені за величиною, вже не є операцією постійного часу. Знадобиться більше часу, щоб виконати більше цифр, які потрібно підсумувати.$N/V[i]$

Наскільки довше? Ділення залежить від кількості цифр, тому це , разів операцій ділення. Це, мабуть, звучить знайомо. :)$lg(n)$$n$

Як виявляється, моє питання зрештою неактуальне. Дійсно, я працюю на машині оперативної пам’яті з рівномірною мірою витрат (тобто, у нас є регістри, регістри яких не обов'язково мають постійний розмір, але можуть зберігати цілі числа логарифмічного розміру на вході не більше, а операції з цими регістрами займають постійний час, в т.ч. принаймні доповнення). Насправді в цій моделі сортування цілих чисел (по суті, виконуючи радіаційне сортування) можна проводити за лінійним часом. Це пояснюється у статті 1996 року Грандженом, Сортування, лінійний час та проблема задоволення .

(Це не дає відповіді на моє запитання про те, чи є добре вивчені поняття "майже сортування" набору цілих чисел, але для того, щоб вони були цікавими, напевно, знадобиться, щоб ці слабкіші поняття було легше застосувати, тобто працювати над слабшими модель або якимось чином працює в підлінійний час. Однак, на даний момент я не знаю, в якому сенсі це було б так.)