Явна збалансована матриця

Чи можна побудувати явну -матрицю з , такі, що кожна підматриця містить менше них?0 / 1 Н 1,5 Н 0,499 × N 0,499 N $N \times N$ $0/1$$N^{1.5}$$N^{0.499} \times N^{0.499}$$N^{0.501}$

Або, ймовірно, для такого майна можна побудувати явний набір звернень.

Неважко помітити, що випадкова матриця має цю властивість з вірогідністю, експоненціально близькою до . Крім того, лемми, що змішує експандер, недостатня для отримання цієї властивості.$1$

Я думаю, псевдовипадкові генератори, які дуріють комбінаторні прямокутники, можуть допомогти тут, але вони розроблені для рівномірного розподілу, і я в основному потребую тут.$B(N^2, N^{-0.5})$

Що ви шукаєте, це однорозрядний екстрактор для двох незалежних джерел: функція , така що за умови X, Y є випадковими змінними з min -ентропія 0,499 * log (N), E (X, Y) майже врівноважена.$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

Це сумнозвісна важка проблема. Для потрібних параметрів я вважаю, що це вирішив Бурген. Дивіться тут: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

Ця відповідь заснована на ідеї Дани у її відповіді вище.

Я думаю, ви можете побудувати таку матрицю, використовуючи конденсатори з втратою двох джерел. Виправити і сказати . Припустимо, у вас є явна функція яка приймає будь-які два незалежні випадкові джерела , кожне довжиною і має міні-ентропію принаймні і виводить a послідовність біт, тобто -закрийте до розподілу з міні-ентропією принаймні . Я думаю, ви можете використовувати стандартні ймовірнісні аргументи, щоб показати, що випадкова функція задовольняє цим властивостям (з переважною ймовірністю), якщо$\delta = 0.001$$N=2^n$$f(x,y)$$(X, Y)$$n$$k = n(1/2 - \delta)$$n' = n/2$$\epsilon$$k'=n(1/2-3\delta)$$2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$. Імовірнісний аргумент має бути подібним до того, що використовується у наступній роботі для конденсаторів без втрат та загальних провідників:

М. Капалбо, О. Рейнгольд, С. Вадхан, А. Вігдерсон. Провідники випадковості та постійне розширення за межами бар'єрного ступеня / 2

У нашому випадку ми встановлюємо , тож ми впевнені в існуванні необхідної нам функції. Тепер аргумент усереднення показує, що існує -бітова рядок така, що число з становить щонайменше . Припустимо, ви знаєте таке і виправите його (ви можете вибрати будь-яке довільне якщо ви додатково знаєте, що ваша функція відображає повністю рівномірний розподіл на розподіл, який є -закрийте для рівномірного). Тепер ідентифікуйте записи матриці за можливостями і поставте$\epsilon = 2^{-k'}$$n'$$z$$(x,y)$$f(x,y)=z$$2^{1.5 n}$$z$$z$$O(2^{-n/2})$$N \times N$$(x,y)$$1$у положенні iff . За нашим вибором , ця матриця має щонайменше .$(x,y)$$f(x,y)=z$$z$$2^{1.5n}$

Тепер візьміть будь-яку підматрицю і нехай - рівномірні розподіли на вибраних рядках і стовпцях відповідно. Вибравши , ми знаємо, що є -закрити тим, що має min-ентропію . Отже, якщо ми виберемо рівномірно випадковий запис підматриці, ймовірність наявності становить максимум . Це означає, що у вас є максимум . X , Y f f ( X , Y ) ϵ k ′ 1 2 - k ′ + ϵ ≤ 2 - k ′ + 1 2 2 k - k ′ + 1 = O ( 2 n / 2 + δ$2^k \times 2^k$$X, Y$$f$$f(X,Y)$$\epsilon$$k'$$1$$2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$$2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

Звичайно, створення явного з потрібними параметрами (зокрема, майже оптимальною довжиною виходу) є дуже складним завданням, і немає такої функції у відомих поки що.$f$