Членство в перехідному моноїді для DFA

З огляду на повний DFA $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$, ми можемо визначити набір функцій для кожної та за допомогою , . Ми можемо узагальнити це поняття до слова і де позначає склад функції. Крім того, позначимо а - моноїд.$f_a$$a\in \Gamma$$f_a:Q\rightarrow Q$$f_a(q)=\delta(q, a)$$w=a_1, \cdots, a_m$$f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$$\circ$$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$$G$

[$G$Зазвичай в стандартному підручнику називають моноїдом переходу , але тут я відтворюю визначення для ясності.]

Питання задається функцією $f:Q\rightarrow Q$, чи можемо ми вирішити $f\in G$ (в ідеалі в поліноміальний час), і якщо це так (тобто існує a $w$ такий як $f=f_w$), чи $w$ є лише поліноміально довгим, або може бути експоненціально довгим?

[Я здогадуюсь, що справді таке слово може бути експоненціально довгим, але я шукаю простий приклад.]

Рішучість

Це рішуче. Існує лише кінцево багато можливих функцій$f:Q \to Q$, тож ви можете змоделювати це як проблему доступності графіка з однією вершиною на функцію та ребром $g \to h$ якщо існує $a \in \Gamma$ такий як $h = f_a \circ g$. Потім, тестуючи функцію$g$ є в $G$ зводиться до тестування $g$ є доступним у графіку від $f_\epsilon$. Ви можете знайти найкоротше таке слово, використовуючи ширину першого разу. Час роботи може бути експоненціальним у$Q$, хоча.

Довжина слова

Найкоротше таке слово може бути експоненціально довгим. Ось приклад такого DFA. Дозволяє$p_1,\dots,p_k$ бути першим $k$праймес. Тоді держава буде такою формою$(i,x)$ де $i \in \{1,\dots,k\}$ і $x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$. Визначте DFA з одинарним алфавітом$\Gamma=\{0\}$ і функція переходу $\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$. Функція$f_0 :Q \to Q$ дається

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

Тепер розглянемо функцію $g:Q \to Q$ дається

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

Для цього можна використати китайську теорему про залишки $g = f_{0^n}$ де $n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$, і те $0^n$є найкоротшим таким словом. Більше того,$|Q|= p_1 + \dots + p_k$, тому $n$ експоненціально велика в $Q$.

Отже, сподіватися на поліноміально-часовий алгоритм, який виводить таке слово, немає. Це все ще залишає відкритою можливість поліноміального алгоритму часу для вирішення питання$g$ є в $G$, хоча.