NP-твердість особливого випадку проблеми ортогональної упаковки

Нехай - сукупність -вимірних прямокутних фігур. Для і , описує довжину у розмірі . Ж позначення використовується для контейнера . Проблема розмірної ортогональної упаковки (OPP- ) полягає у вирішенні питання, чи вписується в контейнер без перекриття. Формально кажучи, проблема полягає в тому, щоб з'ясувати, чи існує існує функція , така що$V$$D$$d \in \{1,...,D\}$$v \in V$$w_d(v) \in \mathbb{Q}^{+}$$v$$d$$C$$D$$D$$V$$C$$\forall d \in \{1,...,D\}$$f_d:V\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$$\forall v \in V, f_d(v)+w_d(v) \leq w_d(C)$ і $\forall v_1,v_2 \in V$, $(v_1 \neq v_2)$, $[f_d(v_1),f_d(v_1)+w_d(v_1)) \cap [f_d(v_2),f_d(v_2)+w_d(v_2)) = \emptyset$.

Проблема не є повною NP (див. Fekete SP, Schepers J. "Про упаковку більш великих розмірів I: моделювання". Технічний звіт 97–288, Університет, zu Köln, 1997). Проблема є NP-повною навіть для$D=2$. Мені цікаво, чи ортогональна проблема упаковки для обмеженої кількості типів (тобто розмірів у кожному вимірі) предметів все ще є NP-комплектом чи ні. До цього часу я знайшов результат у статті про NP-повноту упаковки квадратів у квадрат (див. JOSEPH YT. LEUNG, TOMMY W. TAM, CS CS WONG, "Упаковка квадратів у квадрат", Журнал паралельних та розподілених обчислень, Том 10, випуск 3, листопад 1990 р.), Яке вже є обмеженням, але я досі не знаю, що відбувається, коли кількість видів предметів обмежена.

Спасибі за вашу відповідь,

Я думаю, що стаття Клауса Янсена та Роберто Соліса-Оба " Алгоритм OPT + 1 для проблеми вирізання запасів із постійною кількістю довжин об'єкта " має часткову відповідь на ваше запитання. Вони розглядають особливий випадок вашої проблеми, відомий як проблема вирізання запасу, коли кількість різних типів об'єктів є постійною і визначається наступним чином:

У задачі про запас різання нам надається безліч$T = \{T_1,T_2,\dots,T_d\}$ типи об'єктів, де об'єкти типу $T_i$ мають позитивну цілу довжину $p_i$. Враховуючи нескінченний набір бункерів, кожен має цілу ємність$\beta$, проблема полягає в тому, щоб запакувати набір $\mathcal{O}$ з $n$об'єкти в мінімально можливу кількість бункерів таким чином, щоб не перевищували ємність бункерів; в наборі$\mathcal{O}$ там є $n_i$ об’єкти типу $T_i$, для усіх $i =1,\dots,d$.

Автори стверджують, що це

невідомо, чи можна розв’язати задачу про запас різання за багаточлен за кожне впорядковане значення $d$.

І вони пропонують $OPT+1$ алгоритм наближення багаточленного часу, коли $d$ фіксується.

Оскільки не доведено, що ця особлива справа знаходиться $P$, це є свідченням вашої проблеми $NP$-твердий.

Додаток: це відомо , що у випадку з двома типами об'єктів ($d=2$) поліноміально розв’язується, але для $d=3$ там відомо тільки $OPT+1$-приближення.