Доказ використання асистента в дослідженні теорії складності?

Враховуючи такі теми, що висвітлюються на конференції, як STOC, чи дослідники алгоритму чи складності активно використовують COQ або Ізабел? Якщо так, то як вони використовують це у своїх дослідженнях? Я припускаю, що більшість людей не використовуватимуть такі інструменти, оскільки докази були б занадто низькими. Хтось використовує цих асистентів доказування критично важливим для їх досліджень, на відміну від приємного доповнення?

Мені це цікаво, тому що я можу почати вивчати один із цих інструментів, і було б цікаво дізнатися про них у контексті доказів скорочення, правильності чи часу роботи.

— nish2575
джерело

Ви хочете виключити "Теорію Б" і, зокрема, теорію мов програмування? Наскільки я розумію, асистенти-

— кореспонденти

Я подивився термін, я думаю, що я зосереджений на додатках у "Теорії А"

— nish2575

Наскільки мені відомо, більша частина теорії А знаходиться в тій же категорії, що і більшість решти математики: мало цих основ було додано до цих систем, тому більшість цікавих теорем докладуть значних зусиль, щоб спочатку розробити інфраструктура для реалізації необхідних визначень. Є кілька цікавих бітів теорії автоматів, які були формалізовані, так що це може бути місце для пошуку.

— Андраш Саламон

Результати в теорії складності, як правило, можна довести в набагато слабших системах, зазвичай вам навіть ПА не потрібен. Кок і Ізабеллер не дуже підходять для теорії складності, я б сказав. Існують майже формальні ескізи доказів, такі, як у книзі Кука та Нгуєна, але головний інтерес полягає в тому, щоб довести їх у системі доказів, що стосуються класів складності. Навіщо хотіти доводити це, скажімо, переключення леми в Coq, коли це можна довести в набагато слабших системах?

— Каве

@Kaveh Слабкість / міцність різних систем доказів тут не проблема: ми хотіли б офіційно перевірити докази в теорії складності з тієї ж причини, що і ми хотіли б перевірити програми: мати більш високий ступінь надійності. Крім того, цікавим завданням є також розширення теорії доказів, щоб вони могли зручніше обробляти докази теорії складності.

— Мартін Бергер

Відповіді:

Загальне правило полягає в тому, що чим більш абстрактною / екзотичною є математика, яку ви хочете механізувати, тим легше вона стає. І навпаки, чим конкретніша / знайома математика, тим важче буде. Так (наприклад, рідкісних тварин, як предикативна топологія без точок, набагато легше механізувати, ніж звичайна метрична топологія.

Спочатку це може здатися трохи дивним, але це в основному тому, що конкретні об'єкти, такі як реальна кількість, беруть участь у дикій різноманітності алгебраїчних структур, а докази, що залучають їх, можуть використовувати будь-яке майно з будь-якого погляду на них. Отже, щоб мати можливість звичайних міркувань, до яких звикли математики, вам доведеться механізувати всі ці речі. На противагу цьому, високо абстрактні конструкції мають (навмисно) невеликий і обмежений набір властивостей, тому вам доведеться механізувати набагато менше, перш ніж ви зможете дістатись до хороших шматочків.

Докази теорії складності та алгоритмів / структур даних прагнуть (як правило) використовувати складні властивості простих гаджетів, таких як числа, дерева або списки. Наприклад, комбінаторні, імовірнісні та числові теоретичні аргументи звичайно відображаються все одночасно в теоремах теорії складності. Отримати підтримку бібліотечної підтримки помічників до того, як це приємно зробити, це досить багато роботи!

Одним з контекстів, де люди готові вкластися у роботу, є криптографічні алгоритми. Існують дуже тонкі алгоритмічні обмеження для складних математичних причин, а оскільки криптовалюта працює в змагальному середовищі, навіть найменша помилка може бути згубною. Так, наприклад, проект Certicrypt побудував багато верифікаційної інфраструктури з метою побудови машинно перевірених доказів правильності криптографічних алгоритмів.

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Одним з найяскравіших прикладів, звичайно, є формалізація теорії Конь Ґонтьє у чотирьох кольорових теоремах, яка використовує багато комбінаторики.

Мій колега Улі Шепп використовував для цієї мети бібліотеку ssreflect, розроблену Гонтьєром, для того, щоб перевірити (і трохи розширити) результат у програмі Coq Кука та Ракоффа на автоматичних графіках. https://scholar.google.at/scholar?oi=bibs&cluster=4944920843669159892&btnI=1&hl=de (Schöpp, U. (2008). Формалізована нижня межа щодо непрямої доступності графіків. Логіка програмування, штучного інтелекту та міркування ( С. 621-635). Спрингер Берлін / Гейдельберг.)

— Мартін Гофман
джерело