Розподілити бінарне відношення на бункери таким чином, що кожен елемент знаходиться в невеликій кількості бункерів

Нам даються пари об’єктів (скажімо, числа). Кожен об'єкт з’являється не більше $q$ пар. Наша мета - розподілити пари в однакові за розміром бункери, щоб кожен об'єкт мав якомога менше різних бункерів.

Точніше, нас цікавить функція $f$ із властивістю, що для кожного бінарного відношення з $m$ парами, що мають щонайбільше $q$ пар на об'єкт, існує розподіл пар на $p$ bins, таким чином, що кожен бін отримує $m/p$ пар ( $p$ повинен ділити $m$ ), і жоден об'єкт не виникає в більш ніж $f(m,q,p)$ бункерах.

Це питання виникло в нашому дослідженні щодо паралельної оцінки запитів. Можна було б очікувати, що $m$ великий порівняно з $p$ . "Правильний" розмір $q$ менш зрозумілий. Цікавим розміром для $q$ може бути, наприклад, $\sqrt{\frac{m}{p}}$ . Функція, яка не залежить від $q$ , але працює лише для певного діапазону $q$ , також була б корисною (але не $q=O(1)$ ).

Власне, ми знаходимось за межами форми $p^{1-\epsilon}$ , при цьому $\epsilon>0$ є максимально можливим ...

combinatorics

— Томас S
джерело

У графічній термінології: задавши ціле число

та графік

ребрами, причому кожна вершина має ступінь не більше

, знайдіть

підграграфи

де

, такий, що

, і

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$

m

$m$

p

$p$

q

$q$

Це вірно. У перерахунку на графіки. Відповідь на запитання: . Дійсно, як написано вище, нас цікавлять межі форми і не маємо жодної такої прив'язки для .

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— Thomas S

Особливий випадок для початку: Нехай - непарне ціле число. Чи можна в одному розділі графу на підмножини розміром таким чином, що для кожної вершини кількість підмножин, що містять ребра, що падають на цю вершину, становить , для деяких ? Я ставлю ставку так для будь-якого --- взяти випадкових підмножин вершин розміром кожна. Тоді з високою ймовірністю кожна вершина знаходиться приблизно в підмножини вершин, і кожна пара знаходиться приблизно в

n \geq 1

$n \ge 1$

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$ підмножини. Тепер призначте пари підмножинам ...

— Ніл Янг

У цьому випадку вузли можна спочатку розподілити на набори розміру (придумати інтервали). Тоді кожен бін отримує добуток двох таких наборів (я розглядаю повний спрямований графік, який легше констатувати та асимптотично не сильно відрізнятися). Отже, кожна вершина виникає у бінах, тобто у цьому випадку.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— Thomas S

Для зіркового графіка ( ребер, що падають на одну вершину ) вершина повинна бути у кожному з підграфов, тому для цього випадку обмеження менше не є можливим. Я думаю, саме тому ви обмежуєте максимальну ступінь ? Можливо, ви могли б сказати про це щось більш остаточне, оскільки це, здається, є вирішальним припущенням. Тим часом я залишив спостереження (не відповідь, але занадто великий, щоб відповідати коментарем!) Як відповідь нижче.

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— Ніл Янг

Це не відповідь. Це лише дещо тривіальне спостереження, що WLOG ви можете послабити вимогу, щоб було рівно підмножини точно такого ж розміру, а натомість просто шукати будь-яку кількість крайніх підмножин розміром . Можливо, це допомагає задуматися над проблемою. $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

Зафіксуйте будь-який графік і ціле число . Нехай $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

Лема Припустимо, є такі, що розділи на (будь-яку кількість) частин розміру . Нехай бути максимальною кількістю частин, у яких знаходиться будь-яка вершина. $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

Тоді є підграблі такі, що розділи точно на частин кожного розміру не більше , і $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

Доказ. Починаючи з послідовності , замініть кожну частину у послідовності будь-якою упорядкованою послідовністю країв, що містяться у цій частині. Нехай - це результуюча послідовність (перестановка така, що кожна частина є деяким "інтервалом" ребер у послідовність). Тепер розділіть цю послідовність на суміжних підрядів таким чином, що кожна, крім останньої, має розмір , і нехай містить ребра в й суміжній підрядності. (Тому $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ для .) $i<p$

За припущенням, кожна частина має розмір , а за задумом кожна частина крім останньої частини має розмір , тому (у зв'язку із тим, як визначено) ребра в будь-якій частині розділені на частини в . З цього і припущення, що кожна вершина зустрічається щонайбільше в частинах у , випливає, що кожна вершина зустрічається в максимум частин у . QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— Ніл Янг
джерело