Складність гомогенізації струни

Мотивація : Розробляючи інструменти для версії даних, ми переглянули алгоритми для "розрізнення" двох наборів цілих чисел, створивши послідовність перетворень, які приймають один набір цілих чисел до іншого. Нам вдалося звести цю проблему до наступної дуже природної проблеми, яка, здається, має з'єднання для редагування відстані, групування шляхом заміни та мінімальний загальний розділовий рядок .

Проблема : нам дають рядок, тобто послідовність букв, і наша мета - гомогенізувати її за мінімальних витрат. Тобто, ми хочемо, щоб впорядкована послідовність була такою, щоб усі букви, які були однакові, знаходилися поруч.

Єдина операція, яка дозволена, - це підбір послідовностей букв, які є однаковими, і переміщення цього підпорядкування куди завгодно, і це коштує мені 1 одиницю.

Будь-яка допомога, що характеризує складність цієї проблеми, буде дуже вдячна!

Приклад :

• aabcdab: Введення
• bcd aa ab: Після переміщення першого aa в положення відразу після "d"
• b bcdaaa: Після переміщення кінця b у перше положення

Оскільки отриманий рядок є однорідним, у нас є вартість 2.

Зауважте, що ми ні в якому разі не обмежуємось щодо результату: доки він однорідний, нам не потрібно забезпечувати будь-якого конкретного порядку.

Ця проблема є NP-повною шляхом зменшення з мінімального набору ударів .

$U$$S$$\forall s \in S, s \subset U$$H \subset U$$\forall s \in S, \exists h \in H$$h \in s$

Скорочення полягає в наступному:

• $u \in U$$u'$$s'$$s \in S$$u \in s$$u'$

• $s'$$|s|-1$$s$$u$$u'$$s'$$u'$

• $u'$$s'$$u'$$s'$$s'$$s \in S$$s'$$s$$u$

• $\sum |s| + |H^*|$$H^*$

Оскільки мінімальний набір ударів NP-Hard, також оптимально гомогенізувати рядок. Оскільки ходи утворюють свідка, він є NP-Complete.

Подивіться на кількість змін від однієї літери до іншої у вашому рядку, яку ви можете бачити як міру для неоднорідності рядка. З кожним (корисним) переміщенням підрядки ви зменшуєте це число на одиницю, якщо передує наступній послідовності, а за нею йдуть дві різні літери. Інакше ви зменшите неоднорідність на два.

Тож для рядка з k змінами вам потрібно не більше k - l + 1 переміщення, де l - кількість різних літер у рядку, тому що в кінці кінця l - 1 зміни залишиться. Оскільки рядок довжиною n може мати максимум n-1 літерних змін, вона може потребувати не більше n - l рухів. Найменше можлива кількість - це половина від цього.

Таким чином, найкращою стратегією є пошук підрядів форми abbba і переміщення bbb звідти. Коли нічого не залишилося, рухайся чим завгодно. Ви все ще можете спробувати виконати ті операції, які створюють нові ситуації abbba, але я думаю, що виграш буде дуже малим. Оскільки найгірша можлива стратегія (без дурних рухів, що збільшують неоднорідність) використовує щонайменше вдвічі більше рухів, ніж оптимальна, мале, що ви могли б отримати, здається, не має жодного розумного відношення до зусиль, оскільки відповідь isaacg з характеристикою як NP-важко підказує. Якщо, звичайно, ви дійсно не підраховуєте лише кількість переміщення операцій і не піклуєтесь про час, щоб вирішити, які кроки зробити.

Найгірший випадок - це рядок, де кожна літера відрізняється від свого попередника (а ви не отримуєте жодних бонусів abbba). Тут вам потрібна низка операцій, лінійних по довжині струни і майже дорівнює цій довжині.

У вашому прикладі ви маєте 5 -> 4 -> 3 зміни, а 3 дорівнює кількості літер (4) мінус 1.

Бічна примітка: Для алфавіту розміром лише два, кожен хід, який не переміщує префікс або суфікс рядка, зменшує неоднорідність на два, і тому кожна послідовність розумних ходів є оптимальною.