Мінімальні максимальні рішення ЛП

Лінійне програмування, звичайно, сьогодні дуже добре зрозуміло. У нас багато роботи, яка характеризує структуру можливих рішень та структуру оптимальних рішень. Ми маємо сильну подвійність, багаточастові алгоритми тощо.

Але що відомо про мінімальні максимальні рішення LP? Або, що рівно, максимально мінімальні рішення?

(Це насправді не дослідницьке запитання, але, можливо, у нас може бути щось менш технічне для свят. Мені просто цікаво, і після деякого гуглінгу я відчув, що мені, мабуть, не вистачає правильних ключових слів. Це здається очевидним Проблема для вивчення, але я знайшов лише деякі спорадичні документи, які згадують про проблему.)

Щоб все було просто, давайте зосередимось на упаковці та покритті пластин . В упаковці LP задана неотрицательная матриця . Вектор це здійсненно , якщо і . Ми говоримо, що є максимальним, якщо це можливо, і ми не можемо жадібно збільшити будь-який компонент. Тобто, якщо і , то неможливо. І нарешті, - мінімальний максимум $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ рішення, якщо воно мінімізує цільову функцію серед усіх максимальних рішень. $\sum_i x_i$

(Можна аналогічно визначити максимальний мінімальний розчин покриття LP .)

Як виглядає простір мінімальних максимальних рішень? Як ми можемо знайти такі рішення? Наскільки важко знайти такі рішення? Як ми можемо наблизити такі рішення? Хто вивчає такі речі і який правильний термін для цього?

Ці питання спочатку мотивувались крайовими домінуючими наборами та мінімальними максимальними співпадами . Добре відомо (і це досить легко побачити), що мінімальний максимальний збіг є мінімальним набором ребер; навпаки, з огляду на мінімальний домінуючий набір ребер легко побудувати мінімальне максимальне узгодження.

Тож вони, по суті, одна і та ж проблема. Обидві проблеми є жорсткими NP та APX-жорсткими. Існує тривіальний алгоритм 2-наближення: будь-яке максимальне узгодження.

Однак їх "природні" релаксації LP виглядають дуже по-різному. Якщо взяти домінуючу задачу задачі та створити природну релаксацію LP, ви отримаєте покривний LP. Однак якщо ти вирішиш знайти мінімальну максимальну відповідність і спробувати придумати релаксацію LP, то що ти отримуєш? Ну і, звичайно, дробові відповідність є можливим рішенням пакувального ЛП; то максимальні дробові співпадіння є максимальними рішеннями таких ЛП, а мінімальні максимальні дробові співпадіння - отже, мінімальні максимальні рішення таких ЛП. :)

— Юкка Суомела
джерело

Ваше визначення максимуму як "ми не можемо жадібно збільшити жоден компонент" звучить дуже схоже на рівновагу Неша. Чи є тут прихований зв’язок з теорією ігор?

— Деррік Столі

Хіба це не так , що для кожного максимального рішення

в упаковці приклад LP,

?. Тоді по суті ми шукаємо мінімальне (в

-нормі) рішення системи лінійних рівнянь.

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

— Імран Рауф

A x = 1

$Ax = 1$

Чи знайомі ви з лінійними вузькими програмами , в яких аспект minimax є всіма цільовими функціями?

— Майк Співі

Максимальність і мінімальність: Вони є різновидами оптимальності Парето.
Складність: Я думаю, що знайти мінімальне максимальне рішення є важким NP. Я б зменшив задачу домінування незалежності (яка називається мінімальною задачею максимального незалежного набору) у двосторонніх графіках. Ця проблема (точніше версія її рішення), як відомо, повна NP (Д.Г. Корнейл, Ю. Перл, Кластеризація і домінування в ідеальних графах. Дискретна прикладна математика 9 (1984) 27-39). Оскільки двосторонній графік є досконалим, його незалежний набір багатогранника визначається кліковими нерівностями, а кількість кліків у двопартійному графіку є многочленом. Тому ми можемо явно записати систему лінійних нерівностей Ax <= 1, x> = 0 для незалежного заданого багатогранника. Крайні рішення відповідають незалежним множинам, а крайні максимальні рішення відповідають максимальним незалежним множинам.

— Йосіо Окамото
джерело

$P$ $A(P)$ $P$

$STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

$P$ $A(P)$

На жаль, мені важко було знайти прозоре пояснення цього матеріалу, але я аж ніяк не знавець багатогранників. Сподіваємось, ви виявите, що це стосується проблеми, яка існує.

— Андрій Д. Кінг
джерело