Проміжні NP-проблеми з ефективними квантовими рішеннями

Пітер Шор показав, що дві найважливіші NP-проміжні проблеми, факторинг та проблема дискретного журналу, знаходяться в BQP. Навпаки, найвідоміший квантовий алгоритм для SAT (пошук Гровера) дає лише квадратичне вдосконалення порівняно з класичним алгоритмом, натякаючи на те, що проблеми, повні NP, все ще нерозв'язні на квантових комп'ютерах. Як зазначають Арора та Барак, в BQP також існує проблема, яка, як відомо, не знаходиться в NP, що призводить до думки про те, що два класи є незрівнянними.

Чи є якісь знання / здогадки щодо того, чому ці NP-проміжні проблеми є BQP, але чому SAT (наскільки ми знаємо) не є? Чи дотримуються інші тенденції проміжні проблеми, пов'язані з НП? Зокрема, чи є ізоморфізм графа у BQP? (це не добре в Google).

cc.complexity-theory quantum-computing np np-intermediate

— Гек Беннетт
джерело

Погляньте на це питання про переповнення математики та зоопарк квантових алгоритмів .

— Петро Шор

Я вважаю, що я повинен вирішити питання, чому певні NP-проміжні проблеми є BQP, а інші невідомо. Єдине, що я справді можу впевнено сказати, - це те, що проблеми, які, як відомо, є в BQP, належать до різних класів, і в межах кожного класу, як правило, в рішенні використовуються однакові методи. Дивіться два посилання в моєму попередньому коментарі

— Пітер Шор

Будь-яка повна BQP-проблема слугує прикладом проблеми в BQP, яка, як відомо, не знаходиться в NP.

— Робін Котарі

Щодо алгоритму ізоморфізму квантового графіка: tuvalu.santafe.edu/~moore/qip-slides.pdf .

— Гек Беннетт

BQP-повний? Чи може хтось навести проблему, повну BQP?

— Cem Say

Відповіді:

Графічний ізоморфізм, як відомо, не існує в BQP. Здійснено багато роботи над його спробою. Дуже інтригуючим спостереженням є те, що ізоморфізм графів можна було б вирішити, якби квантові комп'ютери могли вирішити неабелеву приховану підгрупу для симетричної групи (факторинг та дискретний журнал вирішуються використовуючи абелеву приховану підгрупу, яка, в свою чергу, вирішується шляхом застосування квантового перетворення Фур'є на абелеві групи).

Одним із способів, яким люди намагалися вирішити ізоморфізм графів, було застосування квантового перетворення Фур'є для неабелевих груп. Існують алгоритми квантового перетворення Фур'є для багатьох неабелевих груп, включаючи симетричну групу. На жаль, виявляється, що для розв’язання ізоморфізму графів може бути неможливим використання квантового перетворення Фур'є для симетричної групи; про це написано досить багато робіт, які показують, що це не працює, враховуючи різні припущення щодо структури алгоритму. Ці папери - це, мабуть, те, що ви знаходите під час google.

— Петро Шор
джерело

Я здогадуюсь про проблеми, про які я ставив питання про потрапляння до категорії 2 (QFT / HSP) у питанні про MathOverflow, і це ключова спільність. Спасибі!

— Гек Беннетт

Це приємне опитування про все, що Петро сказав arxiv.org/abs/0812.0380

— Маркос Віллагра

З результатом роботи професора Бабая щодо ізоморфізму графіка, що полягає у складності квантового комп'ютерного алгоритму на GI?

— XL _At_Here_There

На даний момент у нас немає жодних квантових алгоритмів, які б краще, ніж класичні алгоритми.

— Пітер Шор

Відповідь фольклору полягає в тому, що факторинг "структурований" таким чином, що загальних проблем, повних NP, немає, і саме тому нам вдалося знайти лише квантову перевагу для проміжних проблем.

Можливо, більш простий варіант вашого питання полягає в тому, щоб дивитися не на обчислювальну складність, а на складність запитів булевих функцій. Тут ми можемо сказати деякі речі, такі як, наприклад, те, що суперполіномічні прискорення можливі лише для часткових функцій (доведено в http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802049 ), а не для функцій, симетричних за своїми входами. та результати (доведено в http://arxiv.org/abs/0911.0996 ).

Ці результати безпосередньо не проливають світло на питання BQP проти NP, але, на мій погляд, є важливими кроками на шляху визначення того, де є квантова перевага.

— Арам Борона
джерело