Графічний ізоморфізм та приховані підгрупи

23

Я намагаюся зрозуміти взаємозв'язок між ізоморфізмом графа та прихованою проблемою підгрупи. Чи є хороша довідка для цього?

— Суреш Венкат
джерело

2

Tssk, нам не потрібно буде вилікувати вашу хворобу ШКТ, але й усіх бідних читачів вашого питання, які також заразилися! (Це жарт, я теж дещо схильний до хвороби ШКТ.)

— Андраш Саламон

1

занадто правдивий. Я маю триматися подалі від Дейва Бекона :)

— Суреш Венкат

2

FYI, наступний порівняно недавній документ, я думаю, поставив цвях у труні щодо "квантових ситових алгоритмів" для GI, який охоплює багато спроб досі (і не згадується в публікації в блозі Дейва Бекона): dx.doi.org/ 10.1137 / 080724101 . Документ важкий для теорії представлення, але вступ не є, і він досить добре читається.

— Джошуа Грохов

20

Посилання можна знайти у відповіді martinschwarz, але ось короткий виклад пари скорочень.

Симетрична група діє на графіки n вершин, переймаючи вершини. Визначення того, чи є два графіки ізоморфними, є поліноміально-часовим еквівалентом обчисленню множини, що генерує поліном, для $S_n$ $Aut(G)$ .

Зведення до HSP над симетричною групою (де - кількість змінних у графіку). Функція є , де є перестановка в і є перестановка версії . Тоді константа на косетах і чітка на різних козетах (зауважимо, що зображення $S_n$ $n$ $f$ $f(p)=p(G)$ $p$ $S_n$ $p(G)$ $G$ $f$ $Aut(G)$ $f$ складається з усіх графіків, ізоморфних ). Оскільки прихована підгрупа є саме , якби ми могли вирішити цю HSP, то у нас був би генеруючий набір для , що є все, що нам потрібно для вирішення GI (див. Вище). $G$ $Aut(G)$ $Aut(G)$

Зведення до HSP над . Якщо ми хочемо знати, чи є два графіки і на вершинах ізоморфними, розглянемо графік який є неперервним об'єднанням і на вершин. Нехай діє на вершинах шляхом заміни з для . Або $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $G$ $H$ $n$ $K$ $G$ $H$ $2n$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $i$ $n+i$ $i=1,...,n$ або . Як і раніше, нехай $Aut(K) = Aut(G) \times Aut(H)$ $Aut(K) = (Aut(G) \times Aut(H)) semidirect \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ де зараз елемент який діє на як описано. Прихована підгрупа, пов'язана з - це точно , як і в попередньому скороченні. Якщо ми розв’яжемо цю HSP, отримаємо генеруючу множину для . Тоді легко перевірити, чи містить генераторний набір який-небудь елемент, який замінює копію копією всередині $f(x)=x(K)$ $x$ $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $K$ $f$ $Aut(K)$ $Aut(K)$ $G$ $H$ (має нетривіальнийкомпонент ). $K$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

— Джошуа Грохов
джерело

17

Можливо, ви захочете прочитати нещодавню публікацію блогу Дейва Бекона про графічний ізоморфізм із посиланнями на літературу.

— Мартін Шварц
джерело

14

"Квантові алгоритми алгебраїчних задач" Ендрю Чайлдса та Віма ван Дам arXiv: 0812.0380 - це дуже хороший оглядовий документ, який містить хороший вступ неабелівського HSP та його відношення до ізоморфізму Графа.

— дабакон
джерело